sábado, 18 de abril de 2015

126 - O Enésimo Número Livre de d

Chamo de o enésimo número livre de ao enésimo inteiro positivo não-múltiplo de . Simbolizo por .

A sequência dos números ímpares consiste nos números livres de . Seu termo geral é .

A sequência representa os números livres de . Qual a fórmula do termo genérico de ?

Na sucessão temos os números livres de . Como podemos calcular ?

Qual a fórmula do termo geral dos números livres de

Para responder a estas perguntas, precisamos conhecer ou lembrar da função colchete, onde, dado , a mesma é definida como = parte inteira de , se .  No caso de  , temos . Só usaremos a primeira opção pois trabalharemos apenas com sucessão de números positivos. No entanto, segue-se exemplos gerais.

 
 
 

Duas operações envolvendo a função colchete que usarei neste artigo:

1)   Dado e , obviamente, ;

2)  Dados , com e e se temos , então é fácil verificar intuitivamente que  , ou seja é a parte inteira da divisão de por .


LEMA.  Na sequência definida por  , com , temos que não divide .

Exemplo: se , com , então não divide .

Demonstração.
 

 

 

Ora,  implica em , logo não pode dividir a soma .

Para maior compreensão, usando o exemplo do lema com , temos


 

 

E como segue que não é múltiplo de .  


TEOREMA. Se representa o enésimo número livre de , então

  

Demonstração. Observe que em , temos ( ver 2) ) . Assim,


   




Como vimos pelo LEMA demonstrado, nunca é múltiplo de


O próximo passo, para conseguir , é ordenar , ou seja, colocar em função de .  

Dado o inteiro , com , temos que qualquer elemento do conjunto quando dividido por , deixa resto .  Assim, os elementos deste conjunto podem ser representados pela sequência de termo geral . Podemos, então fazer, , logo





                           ( ver 1) )



Desta forma,

Na sequência dos números ímpares , ;

Nos números livres de , cujos primeiros termos são , temos ;


Na sucessão dos números livres de , temos que o milésimo termo da sequência é calculado como se segue.

 




 
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