sábado, 31 de janeiro de 2015

123 - Ovais Cartesianas Simétricas ao Eixo Ox

Colocaremos, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as curvas geradas pela função e pela relação , com o objetivo de visualizar os tipos de transformações que a curva de goza sob um radical, conforme .

Podemos, desde já, constatar o seguinte.

1) O domínio da relação são todos os valores de , onde . Na prática, relativo ao esboço de , desprezamos os ramos da curva de , onde

2) Tendo em vista que ou , a curva de é simétrica em relação ao eixo .

3) Como para e para , temos que:

I - Os módulos das ordenadas de são maiores que os módulos das ordenadas de para e;

II - Os módulos das ordenadas de são menores que os módulos das ordenadas de para .

Nos exemplos gráficos, as curvas de  estarão na cor negra e as curvas de na cor vermelha.
     
Podemos,então, comprovar os itens 1), 2) e 3)  no exemplo elementar onde e , conforme o gráfico duplo a seguir.


Em alguns casos, é verificado uma simetria também com o eixo , desde que já possua este tipo de simetria. Por exemplo,  e


 Informalmente falando, a raiz quadrada desta parábola é uma hipérbole.

Observem agora se invertemos os sinais do segundo membro da equação anterior da parábola, ou seja , .  A curva é uma conhecida figura.

"A raiz quadrada desta parábola é um círculo."

Entramos agora em um terreno interessante. O aspecto gráfico fechado ( círculo, elipse, ovais) aparece na curva de toda vez em que um ponto máximo se encontra entre duas raízes de  .

Exemplos. Dado , o gráfico de é um círculo para e uma elipse para . Vejam os exemplos para e .





Saímos agora da dimensão das figuras fechadas mais conhecidas. Vejam que a curva vermelha de apresenta dois ramos, sendo um de aspecto oval,



enquanto a curva de apresenta duas ovais.


Uma curva bastante exótica, que apresentei e analisei no post 107 é gerada pela equação , explicitamente expressa por , ou seja, a função do radicando é ( em negrito, no gráfico a seguir ).


A relação transcendente interessante e mais básica, cujo gráfico apresenta ovais, é  .



Por outro lado, até uma relação formada por uma função descontínua como pode produzir ovais. É o caso de  .



Geralmente, os módulos das ordenadas das funções exponenciais tem um ímpeto de crescer  "agressivamente" para o infinito. Mas essa "ânsia" pode ser contida numa curva fechada por intermédio da relação .


Para finalizar, um exemplo feito no programa online Wolfran Alpha.