010-Equações e Identidades Algébricas

Eu queria colocar o título como "Método Alternativo para a Demonstração da Fórmula de Bhaskara" mas resolvi escrever um pouco sobre as equações cúbicas.
Vamos trabalhar com coeficientes reais na resolução de todas as equações propostas   (  ) em .

Seja a equação do 2º grau . Considere também a  identidade

 e compare    com                          .x  +                  = 0 

A identidade em  e  é válida para quaisquer que sejam estes valores.

Já a equação em  é válida para valores específicos desta incógnita.

No entanto, fazendo 

        (  1   )

       (   2   )

  (  3   )

podemos achar as raízes  utilizando a identidade e filtrando apenas os valores  e  que satisfaçam o sistema acima. E isso não é tão difícil porque de (  2 ) tiramos   e substituindo em (  3  ), temos:

  

e de

De forma que , 

A mesma estratégia podemos usar para resolver a equação cúbica incompleta  . Agora utilizaremos a identidade

para montamos o sistema

         (   1  )

    (   2  )

     (   3   )

De (  2  ), temos  e inserindo em (  3  ),  e isto nada mais é do que uma equação quadrática em do qual achamos  e de ( 2 ) achamos . Na sequência, , refletindo o método de Cardano ( 1501-1576 ) para resolução de equações cúbicas.



REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

História da Matemática de Carl.B.Boyer, Editora Edgard Blücher, 1994.