domingo, 8 de janeiro de 2012

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

"...vemos apenas a ponta do iceberg..."
 
Passarei algumas idéias que tive, ainda no período estudantil, no que tange a invenção do conceito de DERIVADA NATURAL aplicado a qualquer tipo de sequência. O termo genérico de uma PA(g) - Progressão Aritmética de ordem g que será definida a seguir, também partiu de minhas investigações.

Trataremos de sequências de natureza polinomial. 

Sequência nada mais é do que uma função com o pré-requisito de que o conjunto domínio é o conjunto dos inteiros positivos { 1,2,3,...,n,...} e o contra-domínio é um subconjunto do conjunto dos números reais:


{ P(1), P(2), P(3),...,P(n),...}

P(n), chamado de termo geral da sequência, é função de n para alguma lei de formação e quando essa lei é uma expressão de natureza polinomial, temos uma sequência polinomial.

Uma sequência polinomial, definido por uma expressão redutível a um polinômio de grau g, é também chamada de Progressão Aritmética de Ordem g, que para simplicidade, será simbolizada por PA(g). Uma PA(1) é uma PA simples cujo termo geral é

P(n) = A0 + (n-1)A1

Uma PA(g) tem o termo genérico definido por

P(n) = A0 + (n-1)A1 + (n-1)(n-2)A2/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A3/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Ag/g!

Onde os coeficientes A0, A1, A2,...,Ag são todos reais com Ag≠0 e eles serão investigados a seguir ( é o principal objetivo deste trabalho ).

Interessante observar que, na PA de ordem 1, no termo genérico
P(n) = A0 + (n-1)A1, vemos apenas a "ponta do iceberg", porque está subentendido apenas os  fatoriais 0!=1 e 1!=1. Veja:

P(n) = A0/0! + (n-1)A1/1!

Qualquer sequência polinomial é uma PA(g), por exemplo


P(n) = n² = 1 + (n-1)3 + (n-1)(n-2)2/2! é uma PA(2)

É bom redefinir o conceito de razão de uma PA. Numa PA simples, a razão é a diferença de dois termos consecutivos 
 
r = P(n+1)-P(n)

que é sempre constante. 

Designo a operação

P1(n)=P(n+1)-P(n) 

aplicada em P(n), de DERIVADA NATURAL DE UMA SEQUÊNCIA, para diferenciar da derivada infinitesimal de funções contínuas. Abreviadamente, neste trabalho, indicaremos P1(n)=P(n+1)-P(n) apenas como DERIVADA N e ficará subtendido que se trata de DERIVADA NATURAL DE UMA SEQUÊNCIA


Mais adiante, veremos que uma PA(g) tem g razões que dependem da DERIVADA N.


Conceito de derivada N de outras ordens:

P1(n) é a derivada N aplicada em P(n)
P2(n) é a derivada N aplicada em P1(n)
…....
Pi(n) é a derivada N aplicada em P(i-1)(n)

Assim, de maneira breve, em relação a P(n),  defino as derivadas N: P1(n), P2(n),...,Pi(n), de ordens 1,2,..e i, respectivamente. 

Defino dessa forma porque esse conceito estrutural de derivadas ordens superiores é semelhante ao da derivada infinitesimal.

TEOREMA:

Se

P(n) = A0 + (n-1)A1 + (n-1)(n-2)A2/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A3/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Ag/g!

e se P1(n)=P(n+1)-P(n) é a DERIVADA N de P(n),


então

P1(n) = A1 + (n-1)A2 + (n-1)(n-2)A3/2! + (n-1)(n-2)(n-3)A4/3!+ ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-[g-1])Ag/(g-1)!


O que significa isso? 
a) Primeiramente que, se P(n) tem grau g, então P1(n) tem grau ( g-1);
b) Todos os coeficientes de P1(n) são os mesmos de P(n) ( com exceção de A0 ) mas transladados uma parcela para a esquerda.

A demonstração é simples, mas extensiva. Basta substituir n por n+1 na expressão P(n) e diferenciar o resultado da mesma P(n). Reagrupando os termos semelhantes (n-1)..(n-i) obtemos a expressão para P1(n).

Agora fica fácil investigar a natureza dos coeficientes A0, A1, A2,...,Ai,...Ag.
Dado P(n), o termo genérico de uma PA(g), temos:

Em P(n)= A0+ A1(n-1)+... ( ordem ou grau g ) :
[; \rightarrow;] A0 = P(1)

Em P1(n)= A1+ A2(n-1)+... ( ordem ou grau g-1 ):
[; \rightarrow;] A1 = P1(1)

Em P2(n)= A2+ A3(n-1)+... ( ordem ou grau g-2 ):
[; \rightarrow;] A2 = P2(1)

Em P3(n)= A3+ A4(n-1)+... ( ordem ou grau g-3 ):
[; \rightarrow;] A3 = P3(1)
…......................

Em Pi(n)= Ai+ A(i+1)(n-1)+... ( ordem ou grau g-i ):
[; \rightarrow;] Ai = Pi(1)
….............................

Em Pg(n)= Ag ( ordem ou grau g-g =0):
[; \rightarrow;] Ag = Pg(1)

Observem que a g-ésima derivada N de P(n) é uma constante, pois tem grau 0.

Interpretação: se encararmos P1(n)=P(n+1)-P(n) como uma segunda sequência polinomial, então P1(1) será o primeiro termo desta sequência. Logo, P2(1), P3(1), P4(1),... etc serão os primeiros termos das sequências correspondentes a P2(n), P3(n), P4(n), etc.

Uma maneira bem simples de ver isso é analisarmos a variação numérica de, por exemplo P(n) = n²( triângulo das variações ):

1    4      9
3     5
2

A primeira linha corresponde a P(n)= n² cujo primeiro termo é P(1)=1
A segunda linha corresponde a P1(n)=P(n+1)-P(n) cujo primeiro termo é P1(1)=3
A terceira linha corresponde a P2(n)=P1(n+1)-P1(n) cujo primeiro termo é P2(1)=2=cte

Assim,  n² = A0    + (n-1)A1    + (n-1)(n-2)A2/2 =
                 = P(1) +  (n-1)P1(1) + (n-1)(n-2)P2(1)/2
                 =    1 +     (n-1) 3    +  (n-1) (n-2) 2 /2

Outro exemplo:

P(n) =7n³ - 8n² + 11n – 9

Na prática, se temos g=a, temos que analisar a+1 termos da sequência para acharmos todos os coeficientes.

Neste caso, g=3, e calculamos 

P(1)=1,  P(2)=37,  P(3)=141 e  P(4)=355

1     37       141      355
36    104      214
68       110
42

Logo,

7n³ - 8n² + 11n – 9=
1 + (n-1)36 + (n-1)(n-2)68/2! + (n-1)(n-2)(n-3)42/3!

Concluimos então, que uma PA(g) pode ser reescrita como

P(n) = P(1) + (n-1)P1(1) + (n-1)(n-2)P2(1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)P3(1)/3! + ...
...+(n-1)(n-2)(n-3)...(n-g)Pg(1)/g!

Onde os coeficientes P1(1), P2(1), P3(1),...,Pg(1) são as g razões da PA(g)

No próximo post mostrarei a técnica para achar a soma do n primeiros termos de uma PA(g) onde será definido o conceito de INTEGRAL NATURAL, um poderoso recurso para somatórios.

11 comentários:

  1. Olá Aloisio, seu blog parece ser promissor. Escreva mais posts e entre em contato novamente para lhe explicar os passos para a filiação.

    ResponderExcluir
  2. Poxa, esse seu post me ajudou bastante a compreender o assunto! Obrigada!
    Você conhece mais algum material online sobre o progressões de ordem superior?

    ResponderExcluir
  3. Oi, Nicole! Seja bem vinda! Fico feliz se te ajudei nos seus trabalhos. Se procurarmos na net, eu acho que o máximo que encontraremos, fora este post, será sobre progressão arimética de ordem 2. Obrigado pela visita!!

    ResponderExcluir
  4. Excelente explicação! valeu parceiro!!! nao achei bem explicado assim em lugar nenhum kkk, valeu mesmo!!

    ResponderExcluir
  5. parceiro, nessa parte:

    "P(n) = A0 + (n-1)A1, vemos apenas a "ponta do iceberg", porque está subentendido apenas os fatoriais 0!=1 e 1!=1. Veja:

    P(n) = A0/0! + (n-1)A1/1!"

    (A1) é a razão né?

    ResponderExcluir
  6. nao vi que tinha explicando mais pra frente, deixe!

    ResponderExcluir
  7. olá Aloísio, gostei do seu material sobre PA de ordem superior. Estou fazendo minha dissertação de mestrado sobre esse tema. Você tem esse material publicado para que eu possa referenciá-lo em meu trabalho? se tiver me mande pelo email: josefilho010@gmail.com.

    ResponderExcluir
  8. Aloisio, gostei. Que interessante você desenvolveu o Método de Newton-Gregory sem ter conhecimento sobre o assunto. Parabéns!

    ResponderExcluir
  9. Se na diferença dos valores da sequência resultar por exemplo: 6,24,54,6,150...
    18,30,42,54...
    12,12,12
    0,0,0

    utiliza-se como valores do triângulo das variações até o 12=a2 na expresão geral para resultar em uma expressão quadrática. Confere?

    ResponderExcluir