sexta-feira, 24 de fevereiro de 2012

020-Método para Calcular os Coeficientes Polinomiais a Partir dos Valores Iniciais Sem Usar Sistema - Algoritmo de Teixeira

Os coeficientes do polinômio cúbico completo [;P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;] são em número de [;4;] ([;a,b,c;]e [;d;] ). Para descobrir os valores destes coeficientes por intermédio de seus valores iniciais  e usando um sistema precisaríamos, então, de [;4;] equações igualadas à [;4;] valores iniciais:

       [;a + b + c + d = P(1);]
[;8a + 4b + 2c + d = P(2);]
[;27a + 9b + 3c + d = P(3);]
[;64a + 16b + 4c+ d = P(4);]  

Deste modo, para um polinômio de grau [;n;] , precisaríamos de [;n+1;] equações igualadas à [;n+1;] valores iniciais [;P(1),P(2),...P(n+1);].

No entanto, para achar os coeficientes polinomiais de um polinômio qualquer a partir de seus valores iniciais, não é necessário utilizar um sistema, existindo um método mais fácil para este cálculo que consiste em um algoritmo que desenvolvi.

Como exemplo, considere os seguintes valores polinomiais [;P(1)=-5;],[;P(2)=-1;], [;P(3)=11;] e [;P(4)=37;]. Acharemos os coeficientes do polinômio [;P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;] ( e consequentemente, o próprio polinômio ) em [;4;] estágios - de forma que, se fosse um polinômio de grau [;n;], com [;n+1;] valores iniciais, seriam em [;n+1;] estágios.

PRIMEIRO ESTÁGIO ( coeficiente [;d;] )

Com todos os valores iniciais do polinômio, fazemos o triângulo das variações, onde, a partir da segunda linha, cada número é a diferença de dois números da linha superior.

[;-5;]     [;-1;]     [;11;]      [;37;] 
  [;4;]        [;12;]      [;26;]
[;8;]        [;14;]
[;6;]

Pegamos os números da diagonal esquerda e calculamos o coeficiente [;d;]  fazendo a seguinte soma algébrica de sinais alternados:

[;d=(-5)-(4)+(8)-(6)=-7;] 


SEGUNDO ESTÁGIO ( coeficiente [;c;] )

Pegamos os três valores iniciais da primeira linha do triângulo numérico e fazemos as operações:

[;\frac{(-5)-d}{1};], [;\frac{(-1)-d}{2};],[;\frac{(11)-d}{3};] o que resulta em

                                                      [;2;],           [;3;],          [;6;]

E fazendo novamente o triângulo das variações:

                                                       [;2;]           [;3;]          [;6;] 
                                                              [;1;]         [;3;]
                                                                   [;2;] 

Pegamos os números da diagonal esquerda e calculamos o coeficiente [;c;]  fazendo novamente a soma algébrica de sinais alternados:

                                                    [;c=(2)-(1)+(2)=3;] 


TERCEIRO ESTÁGIO ( coeficiente [;b;] )

Pegamos os dois valores iniciais da primeira linha deste último triângulo numérico e fazemos as operações: 

[;\frac{(2)-c}{1};] , [;\frac{(3)-c}{2};], o que resulta em

                                                              [;-1;]     [;0;] 

E fazendo o triângulo das variações:

    [;-1;]     [;0;] 
      [;1;] 

Pegamos os números da diagonal esquerda e calculamos o coeficiente [;b;]  fazendo a soma algébrica de sinais alternados: 

[;b=(-1)-(1)=-2;] 

QUARTO  E ÚLTIMO ESTÁGIO ( coeficiente [;a;] )

Simplesmente pegamos o valor único da última linha do último triângulo numérico e temos [;a=1;].

Logo, [;P(x)=x^3-2x^2+3x-7;]

Como os leitores notaram , a cada estágio, os cálculos ficam mais brandos.

A explicação para este algoritmo é que o coeficiente independente [;a_0;] do polinômio [;P(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n;] se obtêm por [;a_0=P(0);].  Além disso, para quem acompanhou a  teoria contida em Progressão Aritmética de Ordem Superior, este polinômio pode ser representado pelo termo genérico de uma PA de ordem superior:

[;P(x)=A_0 + (x-1)A_1 + ( x-1)(x-2)\frac{A_2}{2!}+...+(x-1)(x-2)...(x-n)\frac{A_n}{n!};]

onde os coeficientes [;A_0;] ,[;A_1;],[;A_2;],...,[;A_n;] são extraídos na diagonal esquerda do triângulo das variações feito com os valores iniciais [;P(1);],[;P(2);] ,...,[;P(n+1);] . Portanto,

[;a_0=P(0)=A_0-A_1+A_2-...(-1)^nA_n;]

Para achar o valor do coeficiente seguinte [;a_1;] usamos o operador [;P^{\perp}(x)=\frac{P(x)-P(0)}{x};] de forma que o resultado é um polinômio de grau [;n-1;] cujo termo independente é [;a_1;]. Veja:

  [;P^{\perp}(x)=\frac{P(x)-a_0}{x}=a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1};] 

Por sua vez, este segundo polinômio tem a representação

[;P^{\perp}(x)=B_0+(x-1)B_1 +(x-1)(x-2)\frac{B_2}{2!}+...+(x-1)(x-2)...[x-(n-1)]\frac{B_{n-1}}{(n-1)!};]

e, da mesma forma, os coeficientes [;B_0;],[;B_1;],[;B_2;],...,[;B_{n-1};] são obtidos na diagonal esquerda do triângulo das variações,  mas desta vez  feito com os valores iniciais [;P^{\perp}(1)=\frac{P(1)-a_0}{1};], [;P^{\perp}(2)=\frac{P(2)-a_0}{2};],...,[;P^{\perp}(n)=\frac{P(n)-a_0}{n};]. Logo,

[; a_1=P^{\perp}(0)=B_0-B_1+B_2-...(-1)^{n-1}B_{n-1};]


Os outros coeficientes [;a_2;], [;a_3;],...,[;a_n;] são obtidos de modo análogo:

a) Primeiro usando o operador [;P^{\perp}(x);]  no último polinômio obtido de forma que o coeficiente [;a_i;] procurado fique como termo independente.

b) Depois, representa-se o polinômio na forma de termo genérico de uma PA de ordem superior, obtendo seus coeficientes por intermédio do triângulo das variações formado com os valores iniciais do último polinômio transformado por [;P^{\perp}(x);], para [;x=1;],[;x=2;],...,[;x=n+1-i;], com [;i \in \mathbb{N};] e [;0 \leq i \leq n-1;].

c) Fazemos, então, [;x=0;]  temos [;a_i;]  a partir das somas alternadas dos coeficientes do termo genérico. 

d) Finalmente, [;a_n;] será o único valor da última linha do último triângulo das variações.


Observação: o nosso amigo Francisco Valdir do blog Matemágicas e Números também possui um método pessoal ainda não revelado para calcular coeficientes polinomiais a partir de valores dados que, acredito, seja mais eficaz que o meu tendo em vista os seus "astronômicos" desafios.


RÁPIDAS

[;\alpha;]) Exercício: demonstrar o Teorema de Hunasses. Clique aqui.

[;\beta;]) Interessante observação do leitor Tavano descrita abaixo:

[;\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n^n}.n=\lim_{n \to \infty}n=\infty;] 

Mas, [;\frac{ln[(n^n).n]}{ln(n^n)}=\frac{nln(n)+ln(n)}{nln(n)}=\frac{(n+1).ln(n)}{n.ln(n)}=\frac{n+1}{n};][;\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}=1;]

[;\gamma;]) Em breve: a representação geométrica da média harmônica relativa a dois segmentos dados.



6 comentários:

  1. Oi Aloisio, parabens por este post, muito bom mesmo. Eu tenho uma observação sobre a segunda "Rápida". O limite mostrado em primeiro lugar está correto, mas a demonstração seguinte (do outro leitor), não poderia ser aplicada à expressão do primeiro limite pois aplicar log no numerador e no denominador altera a fração, certo?
    Abs
    Cesar

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  2. Oi, Cesar Rosa!

    Vc está correto. Muito boa a observação. Existe outro paradoxo interessante envolvendo logaritmos na demostração de que, para n crescendo indefinidamente, o enésimo primo tende a n.ln(n)- o que esta correto - e também tende para n - o paradoxo. Veja em http://elementosdeteixeira.blogspot.com/2012/02/o-desafio-dos-numeros-primos.html

    Obrigado pela visita!

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  3. Olá Aloísio,

    Muito bom o post e muito interessante o método que você desenvolveu. Muito importante você ter compartilhado com todos nós. Obrigado! Creio que será útil para muita gente.

    Abraços amigo!

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    1. Oi, amigo Kleber,

      Obrigado pela consideração.

      Creio que as PA de ordens superiores tinham que ser ensinadas no ensino médio na mesma oportunidade da exposição das PA comuns. De forma que os alunos tenham, desde já, uma visão ampla de estrutura polinomial.

      Abraços!

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  4. Very cool! Falta apenas achar a função inversa, sendo F(n)um somatório.

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  5. Olha só quem apareceu! O mestre Hunasses! Sua observação foi profunda, Hunsou. Para eu vizualizar isto que falou tenho que tomar a metade do que vc tomou,kkkk

    Valeu, obrigado pela sua participação!

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