sábado, 11 de fevereiro de 2012

016-O Quociente de Newton nas Séries Polinomiais


No Cálculo Infinitesimal, uma função que não é alterada pela operação derivada é [;f(x)=e^x;], pois [;f_'(x)=e^x;], com reflexo na sua expansão por série infinita: [;e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...;]. No Cálculo Natural também temos uma função desta forma equivalente.

No quociente de Newton ( [;\Delta x \neq 0;] )


[;f_{\Delta x}^{(1)}(x)= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x};]


se [;lim \Delta x =0;] temos a derivada infinitesimal [;f^'(x);] e se [;\Delta x = 1;]  temos a derivada N (natural) [;f^{(1)}(x)=P(x+1)-P(x);] aplicável numa função aritmética (sequência ) [;\mathbb{N^*}\rightarrow R;].

Uma função inalterável para a derivada N é [;f(x)=2^{x-1};] porque [;f^{(1)}(x)=f(x+1)-f(x)=2^x-2^{x-1}=2^{x-1};]. Assim,

[;f(x)=f^{(1)}(x)=f^{(2)}(x)=...=f^{(i)}(x)=...=2^{x-1};] e

 [;f(1)=f^{(1)}(1)=f^{(2)}(1)=...=f^{(i)}(1)=...=2^0=1;]

Se [;f(x);] for uma função polinomial de grau [;g;], pelo que aprendemos no post Progressão Aritmética de Ordem Superior , temos

[;f(x)= f(1)+ (x-1)f ^{(1)}(1)+ ( x-1)(x-2)\frac{f ^{(2)}(1)}{2!}+...+(x-1)(x-2)...(x-g)\frac{f ^{(g)}(1)}{g!};] (  1  )


e a representação polinomial infinita de [;f(x)=2^{x-1};] , à base do Cálculo N, é expressa como

[;2^{x-1}=1+(x-1)+(x-1)(x-2)\frac{1}{2!}+(x-1)(x-2)(x-3)\frac{1}{3!}+...;]

válida para [; x \in N^*;]. Isto porque, se admitirmos, por exemplo, [;x=0;], temos a intrigante "igualdade"

[;\frac{1}{2}=1-1+1-1+1-1 +...;]

Curiosamente, o matemático italiano Guido Grande [;(1671-1742);] ( a quem devemos o gráfico conhecido como ROSA DE GRANDI ), em correspondência com o universalista alemão Goottfried Leibniz [;(1646-1716);] questionou a validade deste resultado obtido daquela vez pela série infinita [;\frac{1}{x+1}=1-x+x^2-x^3+...;]  quando [; x=1;].

Dado [;\Delta x \in \mathbb{R};] não nulo e [;f(x);] uma função qualquer,o quociente de Newton nos fornece os coeficientes da interessante série mais geral

[;f(x)=f(\Delta x)+(x-\Delta x)f_{\Delta x}^{(1)}(\Delta x)+ (x-\Delta x)(x-2\Delta x)\frac{f_{\Delta x}^{(2)}(\Delta x)}{2!}+;] 
[;+(x-\Delta x)(x-2\Delta x)(x-3\Delta x) \frac{f_{\Delta x}^{(3)}(\Delta x)}{3!}+...;]    (  2  ) 

de forma que:

a) Se [;f(x);] for um polinômio, a série é finita e válida para qualquer valor real de [; x;] .
b) Se [;f(x);] não for um polinômio, a série é infinita e válida apenas para [;x=w\Delta x;], com [;w \in \mathbb{N^*};].

Exemplo: Seja [;f(x)=x^2;]. Os desenvolvimentos de [;f(x);] por meio de ( 2 ) quando [;\Delta x=2;], [;\Delta x =5;] ou [;\Delta x =13;] são, respectivamente,

[;x^2=4 + 6(x-2)+(x-2)(x-4)+0+0+...;]

[;x^2=25+15(x-5)+(x-5)(x-10)+0+0+...;]

[;x^2=169+39(x-13)+(x-13)(x-26)+0+0+...;]


Agora, se em ( 2 ) [;\Delta x = 1;], temos ( 1 ), mas se [;lim \Delta x=0;] ( 2 ) converte-se na conhecida série de Taylor:

[;f(x)=f(0)+xf^'(0)+x^2\frac{f^{''}(0)}{2!}+x^3\frac{f^{'''}(0)}{3!}+...;]



2 comentários:

  1. Interessante este post, mas vejo que a função [;f(x) = 2^{x + a};] também possui derivada finita igual a própria função ou estou enganado?

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    1. Você está correto, Paulo Sérgio. A derivada natural ou finita é a mesma para [;f(x)=k.2^x;].No seu exemplo, [;k=2^a;].No entanto, escolhi [;k=2^{-1};] de forma que os coeficientes da minha série para [;f(x)=2^{x-1};] sejam iguais aos coeficientes da série para [;f(x)=e^x;]. Mas valeu a sua observação porque eu corrigi o parágrafo que começava com "A função inalterável..." substituindo por "Uma função inalterável...". Na série geral para [;\Delta x;], podemos obter um interessante desenvolvimento para [;f(x)=sen(x);] e [;\Delta x = \frac{\pi}{2};].Obrigado pela atenção e participação!

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