No quociente de Newton ( )
se temos a derivada infinitesimal e se temos a derivada N (natural) aplicável numa função aritmética (sequência ) .
Uma função inalterável para a derivada N é porque . Assim,
Uma função inalterável para a derivada N é porque . Assim,
e
Se for uma função polinomial de grau , pelo que aprendemos no post Progressão Aritmética de Ordem Superior , temos
( 1 )
e a representação polinomial infinita de , à base do Cálculo N, é expressa como
válida para . Isto porque, se admitirmos, por exemplo, , temos a intrigante "igualdade"
Curiosamente, o matemático italiano Guido Grande ( a quem devemos o gráfico conhecido como ROSA DE GRANDI ), em correspondência com o universalista alemão Goottfried Leibniz questionou a validade deste resultado obtido daquela vez pela série infinita quando .
Dado não nulo e uma função qualquer,o quociente de Newton nos fornece os coeficientes da interessante série mais geral
( 2 )
de forma que:
a) Se for um polinômio, a série é finita e válida para qualquer valor real de .
b) Se não for um polinômio, a série é infinita e válida apenas para , com .
Exemplo: Seja . Os desenvolvimentos de por meio de ( 2 ) quando , ou são, respectivamente,
Agora, se em ( 2 ) , temos ( 1 ), mas se ( 2 ) converte-se na conhecida série de Taylor:
Interessante este post, mas vejo que a função [;f(x) = 2^{x + a};] também possui derivada finita igual a própria função ou estou enganado?
ResponderExcluirVocê está correto, Paulo Sérgio. A derivada natural ou finita é a mesma para [;f(x)=k.2^x;].No seu exemplo, [;k=2^a;].No entanto, escolhi [;k=2^{-1};] de forma que os coeficientes da minha série para [;f(x)=2^{x-1};] sejam iguais aos coeficientes da série para [;f(x)=e^x;]. Mas valeu a sua observação porque eu corrigi o parágrafo que começava com "A função inalterável..." substituindo por "Uma função inalterável...". Na série geral para [;\Delta x;], podemos obter um interessante desenvolvimento para [;f(x)=sen(x);] e [;\Delta x = \frac{\pi}{2};].Obrigado pela atenção e participação!
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