Dados e o polinômio de grau , considere a função aritmética definida por . Neste post, desenvolveremos uma técnica recursiva para obter o somatório
Neste caso, os conceitos de derivada ( derivada natural ou diferença finita ) e integral ( integral natural ) serão úteis.
Derivada de uma função aritmética definida por é a nova função aritmética definida por
DERIVADA
Derivada de uma função aritmética definida por é a nova função aritmética definida por
Obs Por comodidade tratarei, indistintamente, função e lei de definição de função. Observem que já utilizo de modo indistinto a variável do somatório e a variável da função aritmética. E para quem já estudou integral indefinida, digo que na definição de integral , a constante de integração também existe. No entanto, para este artigo, não achei necessário torná-la "visível". Essas pequenas imprecisões conceituais não chegam a atrapalhar os resultados práticos finais e podem até passar despercebidas.
O que nos interessa agora é a derivada de e algo sobre a derivada de .
Derivada de
Derivada de
É notório que as operações algébricas envolvendo monômios de maiores graus ocorrerão em . É esta parcela que definirá o grau de . Pelo binômio de Newton, =, onde é um polinômio de grau . Assim, se tem grau , tem grau . Esta é a chave para a técnica recursiva para o somatório .
INTEGRAL
Integral é inverso conceitual da derivada . Dada a função aritmética , desta vez procuramos uma função aritmética tal que
ou
A integral de é . Simbolicamente,
A variação de nos limites ( inteiros positivos ) e , com , é representada por
Integral de
De fato, pois sendo , temos
Integral de
O que nos importa, no momento, é induzir o grau de . Conforme vimos acima, se tem grau , então tem grau . Podemos então dizer que
O que se conclui que , por sua vez, tem grau .
RELAÇÃO ENTRE SOMATÓRIO E INTEGRAL
=
Demonstração: seja . Assim, . Mas
.Substituindo este resultado acima, resulta o que queremos:
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sejam as funções aritméticas , e relacionadas como se segue
Considerem, também suas respectivas derivadas :
Mas,
Agora, integrando naturalmente ambos os membros, temos
Esta é a expressão da INTEGRAÇÃO NATURAL POR PARTES.
APLICAÇÃO
Para calcular recursivamente o somatório , basta fazer , e . Assim,
Substituindo na expressão da integral,
onde, colocando as constantes para fora do sinal de integração e reduzindo os termos semelhantes do segundo membro, obtemos a expressão final:
EXEMPLO 1
Calcular
Este é o mais simples exemplo de somatório misto exponencial-polinomial.
Resolução
Com , temos . Aplicando na fórmula,
Assim,
EXEMPLO 2
Em
Calcular .
Resolução
Aqui temos,
Inserindo na fórmula de integral mista
( 1 )
Por sua vez
( 2 )
Na sua vez
( 2 )
Na sua vez
Substituindo este resultado em ( 2 ), temos
Substituindo este resultado em ( 1 ), temos
Portanto,
Imagem: http://www.facebook.com/Somatorio
Eu tinha visto isso num livro antigo durante minha graduação e nunca mais ouvi falar. Muito útil em certas situações essa técnica. Parabéns pelo post.
ResponderExcluirai cara estive estudando essas somas e consegui obter os mesmos resultados que você só que com métodos e um notação diferente também. consegui formulas quase idênticas as que são apresentadas neste blog no que se refere as somas infinitas dessas series mistas.
ResponderExcluirencontrei formulas para as series alternadas e as somas onde os termos estão elevados a qualquer potencia, mas não encontrei aqui no blog, seria muito bom ver alguma coisa a respeito disso caso vc tenha as encontrado também.