sexta-feira, 16 de março de 2012

027-Teorema de Wilson



John Wilson ( [;1741-1793;] ) imortalizou-se na matemática por um importante resultado em teoria dos números. Embora tivesse sido um estudante que obteve, em Cambridge,  distinção em matemática , ele abandonou-a profissionalmente em favor do direito (um segundo Fermat?). O teorema de Wilson diz que


[;\frac{(m-1)!+1}{m};] é um inteiro se, e somente se, [;m;] for primo


DEMONSTRAÇÃO 

Este interessante teorema é a fiel observância de duas simples constatações na operação divisão, em relação aos números inteiros. Dados [;a \neq 0, b \neq 0, c \in \mathbb{Z};],

[;I;] -  Se [;a;] divide [;b;], e [;b;] divide [;c;], então [;a;] divide [;c;]

      Ex: [;4;] divide [;16;] e [;16;] divide [;48;], então [;4;] divide [;48;]  

[;II;]- Se [;a \neq 1;] divide [;b;], [;a;] não divide [;b+1;]

      Ex: [;7;] divide [;14;], mas não divide [;15;]

À luz de [;I;] e [;II;], vamos ver se estas duas afirmações se sustentam:

[;m;] é composto[;\frac{(m-1)!+1}{m};] é inteiro  


Sendo composto, [;m;] tem um divisor [;1<d<m;].

Por [;I;], se [;d;]  divide [;m;] e [;m;] divide [;(m-1)!+1;], então [;d;] divide [;(m-1)!+1;]

Veja também que, desde que [;1<d<m;], então [;d;] é algum fator de [;(m-1)!;], portanto, [;d;] divide [;(m-1)!;]

E surgiu um absurdo: [;d;] divide [;(m-1)!;] e [;(m-1)!+1;].

O lema [;II;] foi contradito pela suposição de que [;m;] era composto.

Logo, se [;\frac{(m-1)!+1}{m};] for inteiro, [;m;] não pode ser composto. [;m;] será primo.


ImagemFilme, O Náufrago

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA



13 comentários:

  1. Não sabia que o teorema de Wilson era tão simples de compreender, usando apenas conceitos básicos de divisibilidade. Parabéns pela postagem.

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  2. Pois é, Paulo, e ainda tem gente que complica.

    Obrigado.

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  3. É verdade: até eu entendi! Mais uma bela postagem que servirá como referência na internet!

    Abraços

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    1. Oi, Kleber! O teorema de Wilson é uma fórmula para se reconhecer se um número é primo ou não. Se resultar inteiro, é primo, caso contrário, é composto. Infelizmente, pela existência do fatorial, esta técnica se torna impraticável à medida que o número testado cresce...

      Obrigado pelo "bela postagem"!

      Um abraço!

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  4. Olá, Aloísio!!!!

    Não lembro de ter anteriormente estudado esse teorema! Interessante, hein??? E bastante mais interessante foi a sua demonstração que se mostrou eficaz, simplificada e refletidora de conhecimentos dos conteúdos matemáticos que, volta e meia, estamos dependendo de ter o domínio deles, falo dos critérios de divisibilidade, fatorial, divisores e números inteiros simples e os compostos!!! Depois temos uma... demonstração com redução ao absurdo, bem disfarçada e até, a lembrança desse filme... "O Náufrago" o qual eu assisti e já não recordava do nome do personagem da bola, o Wilson!!!
    Então, é isso!!!! Parabéns!!!! Bela postagem, ótima demonstração e que segue os conselhos do Malba Tahan para o ensino dos conteúdos da matemática, para que se usasse simplificar os cálculos e usar e abusar até, do lúdico para isso!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, nobre Valdir! Eu já vi outras demonstrações do Teorema de Wilson. Veja essa, por exemplo: http://legauss.blogspot.com.br/2010/05/teorema-de-wilson.html. O objetivo de algumas demonstrações é também de exemplificar o uso de alguma outra ferramenta. Curiosamente, a clareza fica em segundo plano.

      Valeu, um abraço!

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  5. Pois é, lendo a demonstração do blog Legauss, sem querer desmerecer o post daquele blog, fico em dúvida se o objetivo principal era compartilhar o conhecimento com os colegas matemáticos. Não sou contra em aprofundar um assunto, desde que ele seja posto em doses homeopáticas.

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  6. Concordo com a última frase, principalmente levando em conta que nosso público em geral é muito diversificado.

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  7. Parabéns, muito bem explicado. Embora a demonstração não seja complexa, ela exige uma certa criatividade, oque na minha opinião a torna mais bela.
    Grande abraço!

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  8. Obrigado, Diogo!

    A prova da recíproca encontra-se no post 051:
    http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/06/051-teorema-de-wilson-ii.html

    Um forte abraço!

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  9. A demonstração mais simples que já vi para a recíproca é apenas argumentar que exceto p-1 e 1, todos os elementos de [;\mathbb{Z}_p;] tem inverso, e eles são todos distintos. Não é muito difícil e usa somente congruência elementar.

    Daí, agrupando os inversos em (p-1)! sobra somente (p-1)1, completando a prova.

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  10. Oi, Victor Chaves!

    A demonstração que citou do TW eu não conhecia. Vou pesquisar sobre ela. Obrigado por enriquecer o blog.

    Um abraço!

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  11. A explicação mais sucinta é que [;\mathcal{Z}_p^*;] é um grupo, [;a^2 \equiv 1 \iff a=\pm 1;]. Daí 1 e p-1 são seus próprios inversos, e nos demais casos, o inverso é distinto e único entre pares de inversos.

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