domingo, 29 de abril de 2012

038-Geometria e Gravidade

1) Considere o planeta Terra uma esfera perfeita e inscrita em um grande cubo. Qual seria a aceleração [;g^';] da gravidade nos vértices e em que altitude [;h;] eles se encontram?

Use [;g=9,8 m/s^2;] ( aceleração da gravidade na superfície de nosso planeta ), [;R=6,37.10^6 m;]( raio da Terra ) e [;\sqrt{3} \approx 1,73;] .

Resolução: temos que calcular a distância [;H;]entre o vértice do cubo e o centro do planeta para inserir na fórmula [;g^'=G \frac{M}{H^2};].

A diagonal [;d;] interna de um cubo em função da aresta [;a;] do mesmo é dada por [;d=\sqrt{3}a;] . Mas como a esfera inscrita tangencia uma face do cubo, temos que [;2R=a;], onde [;R;] é o raio da Terra. Assim, [;d= 2\sqrt{3}R;]  e, portanto, já que a diagonal do cubo passa pelo centro da esfera inscrita, [;H=\sqrt{3}R;].

A gravidade [;g;] normal é dada por [;g=G \frac{M}{R^2};]. Já nos vértices do cubo

[;g^'=G \frac{M}{H^2}=G \frac{M}{(\sqrt{3}R)^2}= \frac{1}{3}. G \frac{M}{R^2}=\frac{g}{3} = \frac{9,8}{3} \approx 3,26 m/s^2;]

Um pouco menor que a gravidade de Marte que é de [;3,7m/s^2;].

E a altitude do vértice é dada por

[;h=H-R= \sqrt{3}R-R=(\sqrt{3}-1).R \approx 0,73.6,37.10^6= 4,65.10^6m =4650Km;]

Nesta altitude, em qualquer região terrestre, um ponto pode considerar-se em um vértice de um cubo imaginário com a Terra inscrita.


2)  Se um ponto geométrico saísse do repouso com uma aceleração constante de [;\alpha=9,8m/s^2;], em quantos dias ele atingiria a velocidade da luz [;c=300.000km/s?;]?

  
Resolução: Neste caso, a função horária da velocidade é [;v=9,8t;] e 

[;t= \frac{v}{9,8}=\frac{c}{9,8}=\frac{300.000.000m/s}{9,8 m/s^2} \approx 30.612.244,89s \approx 354 dias;]

Ou seja, quase [;1;] ano de "queda". A distância percorrida nesse tempo poderia ser uma nova unidade astronômica de distância, o ano g-luz, que seria a distância teórica percorrida por um ponto geométrico em "queda livre", supondo [;g=cte=9,8m/s^2;], até atingir a velocidade da luz. É claro que [;1;] ano g-luz [;<;] [;1;] ano luz. Verifique que a primeira unidade é aproximadamente a metade da segunda.


[;1;] ano g-luz [;= \frac{gt^2}{2}=\frac{9,8.(30.612.244,89)^2}{2}\approx 4,59.10^{15}m;]


[;1;] ano-luz [;=300.000.000m/s.(31536000s) \approx 9,46.10^{15} m;] 



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Imagens ( créditos ):
http://aulamagica.wordpress.com/2008/06/18/volumen-de-una-esfera-inscrita-en-un-cubo/
http://paoliumaaprendiz.blogspot.com.br/2011/02/quis-ser-raio-de-sol.html
http://fisicajovem.blogspot.com.br/2011/07/exercicios-aceleracao-media-escalar.html

Postado por às 20:41

2 comentários:

  1. Kleber Kilhian1 de maio de 2012 às 14:59

    Interessante essa ideia de ano-g-luz. Para problemas teóricos seria bom para treinar cálculo. Precisamos ver uma aplicação no meio astronômico, como se comportaria.

    Para uma padronização, criando uma nova constante, deveria ser considerado a gravidade ao nível do mar, nas coordenadas (0;0). Poderia utilizar a letra grega lambda-gê [;\Lambda _g;] como símbolo. Assim:

    [;\Lambda _g =4,59\times 10^{15}m;]

    Bem legal!

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  2. Aloisio Teixeira1 de maio de 2012 às 16:51

    Gostei deste modelo de padronização, Kleber, e do símbolo também!

    Poderia ser inventado também uma [;UA;]curta para ser usado apenas no Sistema Solar.

    Ou então uma [;UA;] ainda maior de forma a eliminar os milhões de, por exemplo,

    "A Galáxia de Andrômeda se encontra a aprox [;2,3;] milhões de ano-luz".

    Obrigado.

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