terça-feira, 24 de abril de 2012

034-O Crescimento da Série Harmônica

Seja a experiência de observar, a cada unidade inteira de tempo (s), a partir de [;t=1s;],  a posição de dois pontos materiais [;A;] e [;B;], que iniciaram seus  movimentos em [;t \rightarrow 0s;], de um mesmo ponto [;O;], na mesma trajetória retilínea medida em metros([;m;] ) e no mesmo sentido.

Suponha que suas funções horárias [;f: t(segundos) \rightarrow S(metros);], nestas condições de observação e registro de dados, sejam, respectivamente

[;S_A(t) =\sum_{t=1}^{t} \frac{1}{t};]

[;S_B(t)= \ln(t);]

Observa-se que em [;t=1s;], [;A;] tem a dianteira, já que [;S_A (1)= 1/1=1m;] e [;S_B(1)=ln(1)=0m;]. Em [;t=2s;], [;A;] continua na frente pois [;S_A(2)=1/1+1/2=1,5m;] e [;S_B(2)=ln(2) \approx 0,69m;].

Nesta experiência, foi observado ainda que

-Os dois pontos materiais se moviam muito lentamente e suas velocidades pareciam que diminuiam;
- [;B;] nunca alcança [;A;] e a distância [;D;] entre eles parecia se estabilizar;


- Após vários dias de observação, a medida da distância [;D;] aparentemente estacionou em um valor aproximado de [;D = 0,577m;], enquanto os pontos continuavam seus movimentos, embora cada vez mais lentos.

Em um universo hipotético, se tais movimentos existissem, a constante de Euler [;\gamma = 0,57721566490153286060...;] seria descoberta experimentalmente,  à semelhança do número [;\pi;].Seriam investigados, posteriormente, sua irracionalidade (sim), transcendência (sim) e suas casas decimais.

Definição matemática da constante de Euler:

[; \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}1/1+1/2+...+1/n -\ln(n)=0,57721566490153286060...;]

Ou seja, é o limite da diferença do somatório [;S_n=\sum_{1}^{n}1/n;]por [;\ln(n);] quando [;n;] cresce indefinidamente [ tende para o infinito ([;\infty;])].

No post anterior, provei que a SÉRIE HARMÔNICA [;1/1+1/2+1/3+...;] [;\ \rightarrow \infty;] (diverge ) quando [;n \rightarrow \infty;], mas como estimar uma soma parcial desta série? O limite [;\gamma;] nos fornece uma resposta.


[;\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} [ \sum_{1}^{n} 1/n-\ln(n)] \Rightarrow \sum_{1}^{n} 1/n \approx \ln(n)+\gamma;]

Voltando à experiência, os pontos [;A;] e [;B;], ao se deslocarem, mantêm entre si uma distância praticamente constante de [;D \approx \gamma = 0,57...m;], com  [;A;] à frente na posição [;S_A \approx \ln(t)+\gamma;].

Percebe-se, então, o quanto são cada vez mais lentos os movimentos de [;A;] e [;B;].

[;1;] dia de observação: [;t=86.400s;][;\rightarrow;] [;S_A \approx \ln(86400)+0,57...=11,93...m;]

[;1;] semana de observação:[;t=604.800s;][;\rightarrow;][;S_A \approx \ln(604800)+0,57...=13,88...m;]

[;1;] ano de observação:[;t=31.536.000s;][;\rightarrow;][;S_A \approx \ln(31.536.000)+0,57...=17,83...m;]

[;10;] anos de observação:[;t=315.360.000s;][;\rightarrow;][;S_A \approx \ln(315.360.000)+0,57...=20,13...m;]

[;100;] anos de observação [;3.153.600.000s;][;\rightarrow;][;S_A \approx \ln(3.153.600.000)+0,57...=21,87...m;]

Pergunta: quando [;A;]  atingir [;100m;] quantos anos terão decorridos desde o início do movimento? Aqui, primeiramente temos que calcular [;t;] em segundos, de forma que

[;S_A(t)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...\frac{1}{t}=100m;] 

ou seja, [;S_A(t) \approx ln(t)+\gamma=100;][; \Rightarrow t \approx e^{100-\gamma};]

onde [;e=2,71...;] é o número de Euler e [;\gamma = 0,57...;] a constante de Euler

Assim, [;t \approx (2,71...)^{100-0,57...} = (2,71...)^{99,42...}=(10^{0,43...})^{99,42...}= 10^{43,17...}s ;]
[;\Rightarrow t \approx 3,17.10^{35,17}anos ;].

Caros leitores...conseguem imaginar o que significa este tempo dentro da escala universal?

Referência Bibliográfica: Cálculo com Geometria Analítica V2, Simmons, Ed. McGraw-Hill

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