ELEMENTOS: 033-Somatório dos Recíprocos das Potências

Sendo $[;p;]$ um número real não-negativo, a soma infinita dos inversos das potências $[;S=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...;]$ nos fornece interessantes exemplos de séries divergentes ou convergentes. Hoje mesmo eu estava me indagando: "Se $[;\Sigma_1^{\infty}1/n;]$ é divergente e $[;\Sigma_1^{\infty}1/n^2;]$ é convergente, então qual o menor valor de $[;1<p<2;]$ de forma que

$[;S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p};]$

seja convergente?" Esta pergunta minha se revelou equivocada porque não existe $[;p;]$ nestas condições, de forma que $[;S;]$ diverge se $[;0 \leq p \leq 1;]$ e converge se $[;p>1;]$ . Vamos dividir esta afirmação em dois teoremas.

Teorema 1. Se $[;0 \leq p \leq 1;]$ , então $[;S;]$ diverge.

Demonstração.

Primeiramente, se $[;p=1;]$ e $[;n \rightarrow \infty;]$ vamos ter

$[;\sum_1^{\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\right)...>;]$

$[;>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\right)+...=;]$

$[;=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+...=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\rightarrow \infty;]$

Agora, para a desigualdade $[;0 \leq p \leq 1;]$ , temos $[;n \geq n^p;]$ e $[;1/n \leq 1/n^p;]$ , com as somas parciais $[;\sum_{n=1}^n 1/n \leq \sum_{n=1}^n 1/n^p;]$ . Logo, o fato de $[;\sum_{n=1}^{\infty} 1/n;]$ ser divergente induz $[;\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^p;]$ também a ser.

Teorema 2. Se $[;p>1;]$ , $[;S;]$ converge.

Demonstração: Seja $[;m;]$ tal que $[;n \leq 2^m-1;]$ . Assim,

$[;S_{n} \leq S_{(2^m-1)}=\frac{1}{1^p}+\left(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p} \right)+\left(\frac{1}{4^p}+...+\frac{1}{7^p}\right)+...;]$

$[;...+ \left[\frac{1}{(2^{m-1})^p}+...+\frac{1}{(2^m-1)^p} \right];]$

$[;\leq \frac{1}{1^p}+\frac{2}{2^p}+\frac{4}{4^p}+...+\frac{2^{m-1}}{(2^{m-1})^p};]$

Fazendo $[;\frac{2}{2^p}=a;]$ , verificamos que o fato de $[;p>1;]$ é importante porque faz com que $[;0<a<1;]$ .

Portanto,

$[;S_n \leq 1+a+a^2+...a^{m-1} \Rightarrow S_n \leq \frac{1-a^m}{1-a} \Rightarrow S_n < \frac{1}{1-a};]$

$[;\frac{1}{1-a};]$ é uma majoração fixa para a soma $[;S_n=\sum_{n=1}^n 1/n^p;]$ , com $[;p>1;]$ , por maior que seja $[;n;]$ . Logo existirá algum limite $[;L;]$ quando $[;n \rightarrow \infty;]$ de forma que $[;\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^p=L< \frac{1}{1-a};]$ , caracterizando esta série como convergente.

Referência Bibliográfica: Cálculo com Geometria Analítica V2, Simmons, Ed. McGraw-Hill

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terça-feira, 24 de abril de 2012

033-Somatório dos Recíprocos das Potências

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