segunda-feira, 14 de maio de 2012

041-UTF:Demonstração de Caso Particular-II

Teorema e demonstração enviados por Sebastião Vieira de Nascimento ( Sebá ), professor titular aposentado da [;UFCG-PB;].

Se [; x;] ou [;y;] for um primo ímpar e [;n>2;], então a equação [;x^n+y^n=z^n;] não tem solução em inteiros.

DEMONSTRAÇÃO 

I - Primeiramente, no caso de [;n=2;], temos [;x^2+y^2=z^2;] e [;z+y=\frac{x^2}{z-y};]. Uma vez que [; x;], [;y;] e [;z;] são inteiros, [;z-y;] é divisor positivo de [;x^2;] . Já que [; x;] é um primo ímpar, os divisores positivos de [;x^2;] são: [;x^2;],[; x;]e [;1;].
Temos, então, [;2+1;] sistemas de equações: 

[;1^o);] [;z-y=x^2;]
     [;z+y=1;] 

[;2^o);] [;z-y=x;] 
     [;z+y=x;] 

[;3^o);] [;z-y=1;] 
      [;z+y=x^2;]

Dos três sistemas acima, somente o [;3^o;] é compatível. 

O [;1^o;] sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre dois inteiros é igual a [;x^2;] ( [; x;]sendo um primo ímpar ), a soma desses dois números não pode ser igual a unidade.

O [;2^o;] sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre dois inteiros é igual a [; x;], a soma desses dois números não pode ser igual a [; x;].

Se encontrarmos inteiros positivos que satisfaçam o [;3^o;] sistema, eles também satisfazem [;x^2+y^2=z^2;].
Resolvendo o [;3^o;] sistema, obtém-se [;z=\frac{x^2+1}{2};] e [;y=z-1;].

Como [; x;] é um primo ímpar, se escolhermos, por exemplo [;x=3;], obtém-se: [;z=5;] e [;y=4;]. Por inspeção, verifica-se que estes valores satisfazem o [;3^o;] sistema e a equação [;x^2+y^2=z^2;].

Chega-se ao mesmo resultado considerando [;y;] um primo ímpar.

II-Para [;x^4+y^4=z^4;] , temos [;z^2+y^2=\frac{x^4}{z^2-y^2};] e isto implica que [;z^2-y^2;] é divisor positivo de [;x^4;]. Os divisores de [;x^4;], com [; x;] primo ímpar, são [;x^4;], [;x^3;], [;x^2;],[; x;] e [;1;]. Temos, então, [;4+1;] sistemas de equações:

[;1^o);] [;z^2-y^2=x^4;] 
      [;z^2+y^2=1;] 

[;2^o);] [;z^2-y^2=x^3;] 
     [;z^2+y^2=x;] 

[;3^o);] [;z^2-y^2=x^2;] 
     [;z^2+y^2=x^2;] 

[;4^o);] [;z^2-y^2=x;] 
     [;z^2+y^2=x^3;] 

[;5^o);] [;z^2-y^2=1;] 
      [;z^2+y^2=x^4;] 

O [;1^o;] sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual  a [;x^4;]( com [; x;] primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a unidade.

O [;2^o;] sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a [;x^3;] ( com [; x;] primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a [; x;].

O [;3^o;] sistema é incompatível, visto que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a [;x^2;] , a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a [; x^2;].

No [;4^o;] sistema, temos na sua primeira equação [;z+y=\frac{x}{z-y};] e [;z-y;] é divisor de [; x;]( primo ímpar ). Assim, temos [;z-y=1;] ou [;z-y=x;]. Montamos os sistemas

[;a);] [;z-y=x;] 
    [;z+y=1;]

[;b);] [;z-y=1;] 
    [;z+y=x;]

O sistema [;a);] é incompatível, haja vista que se a diferença de entre dois inteiros é igual a [;x>1;], a soma desses dois inteiros não pode ser igual à unidade.

O sistema [;b);] é incompatível, uma vez que se [;z>x;], então [;z+y>x;]

Portanto, o [;4^o;] sistema é incompatível.
No [;5^o;] sistema, na sua primeira equação [;z+y = \frac{1}{z-y};]. Uma vez que [;y;] e [;z;] são inteiros, [;z-y;] não pode ser igual à unidade porque teríamos [;z-y=z+y=1;] ( impossível ).

Portanto, o [;5^o;] sistema é incompatível.

Como nenhum dos cinco sistemas de equações é compatível, a equação [;x^4+y^4=z^4;]  não tem soluções inteiras, se [; x;] ou [;y;] for ímpar. Logo, dado o inteiro [;k \geq 1;],  a equação [;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k};] também não tem.

Chega-se ao mesmo resultado considerando [;y;] um primo ímpar.

III-Para [;x^3+y^3=z^3;], temos [;z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2);] ou [;z^2+zy+y^2=\frac{x^3}{z-y};] o que implica que [;z-y;] é divisor de [; x;]( primo ímpar ). Divisores de [; x^3;]: [;x^3;], [;x^2;], [; x;] e [;1;].

Temos, então, [;3+1;] sistemas de equações:

[;1^o);] [;z-y=x^3;] 
      [;z^2+zy+y^2=1;] 

[;2^o);] [;z-y=x^2;] 
      [;z^2+zy+y^2=x;] 

[;3^o);] [;z-y=x;] 
     [;z^2+zy+y^2=x^2;] 

[;4^o);] [;z-y=1;] 
      [;z^2+zy+y^2=x^3;] 

Como [;z>x;] e analisando as segundas equações dos [;1^o;] , [;2^o;] e [;3^o;] sistemas, verifica-se que estes são incompatíveis.

O [; 4^o;] sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse [;x^2+y^2=z^3;], ou seja, [;z^3-y^2=x^2;] ( neste caso, [; x=y=z=2;] ou [;x=10;], [;y=z=5;] ). Assim, [;z^2+zy+y^2 \neq x^3;]  .

Logo, se [; x;] ou [;y;] for um primo ímpar e [;x^3+y^3=z^3;] não tem soluções inteiras, dado o inteiro [;k \geq 1;], a equação [;x^{3k}+y^{3k}=z^{3k};]  também não tem.

Chega-se ao mesmo resultado considerando [;y;] um primo ímpar.

[;\rightarrow;] Se [;p>3;] for um primo ímpar e [; x;] ou [;y;] for um primo ímpar, a equação  [;x^p+y^p=z^p;] não possui soluções inteiras. Segue-se as justificativas.

IV-Seja [;p=5;]. Se [;x^5+y^5=z^5;], temos [;z^5-y^5=(z-y)(z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4);] ou

[;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=\frac{x^5}{z-y};]

Já que [;z-y;] divide [;x^5;] ( com [; x;] primo ímpar ), temos que [;z-y=x^5;] ou [;x^4;] ou [;x^3;] ou [;x^2;] ou [; x;] ou [;1;]. Segue, então, [;5+1;] sistemas:

[;1^o);] [;z-y=x^5;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=1;] 

[;2^o);] [;z-y=x^4;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=x;] 

[;3^o);] [;z-y=x^3;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=x^2;] 

[;4^o);] [;z-y=x^2;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=x^3;] 

[;5^o);] [;z-y=x;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=x^4;] 

[;6^o);] [;z-y=1;] 
     [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4=x^5;]

Como [;z>x;] e analisando as segundas equações dos [;1^o;], [;2^o;], [;3^o;],[;4^o;] e [;5^o;] sistemas, percebe-se que estes são incompatíveis.

O [;6^o;] sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse [;x^4+y^4=z^5;], ou seja, [;z^5-y^4=x^4;] ( neste caso, [; x=y=z=2;] ou [;x=34;], [;y=z=17;] ). Assim, [;z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4 \neq x^5;].

Chega-se ao mesmo resultado considerando [;y;] um primo ímpar.

V-Seja [;p=7;] . Se [;x^7+y^7=z^7;], temos

[;z^7-y^7=(z-y)(z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6);]

ou

[;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=\frac{x^7}{z-y};] 

Já que [;z-y;] divide [;x^7;] ( com [; x;] primo ímpar ), temos que [;z-y=x^7;] ou [;x^6;] ou [;x^5;] ou [;x^4;] ou [;x^3;] ou [;x^2;] ou [; x;] ou [;1;]. Segue, então, o seguintes [;7+1;] sistemas:

[;1^o);] [;z-y=x^7;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=1;] 

[;2^o);] [;z-y=x^6;] 
    [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x;] 

[;3^o);] [;z-y=x^5;] 
    [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^2;] 

[;4^o);] [;z-y=x^4;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^3;] 

[;5^o);] [;z-y=x^3;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^4;] 

[;6^o);] [;z-y=x^2;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^5;] 

[;7^o);] [;z-y=x;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^6;]

[;8^o);] [;z-y=1;] 
     [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^7;] 

Como [;z>x;], os sete primeiros sistemas são incompatíveis ( pelo mesmo motivo dos casos anteriores ).  

O [;8^o;] sistema também o é, haja vista que se a segunda equação deste sistema fosse [;x^6+y^6=z^7;], teria soluções em inteiros: [;x=y=z=2;] ou [;x=130;] e [;y=z=65;]. Logo, [;z^6+z^5y+z^4y^2+z^3y^3+z^2y^4+zy^5+y^6=x^6 \neq x^7;].

Chega-se ao mesmo resultado considerando [;y;] um primo ímpar.

CONCLUSÃO: Para [;n=p;], com [; x;] ou [;y;]primo ímpar, sempre vamos encontrar [;p+1;] sistemas de equações incompatíveis. A fim de que o Último Teorema de Fermat ([;UTF;]) seja demonstrado, usando a matemática do século [;XVII;], resta provar, aproveitando o resultado do presente trabalho, que a equação [;x^p+y^p=z^p;] não tem soluções em inteiros se [; x;]e [;y;] forem compostos.

[;NE;] : Isto é um desafio para os UTFistas de plantão.

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