Teorema e demonstração enviados por Sebastião Vieira de Nascimento ( Sebá ), professor titular aposentado da .
Se ou for um primo ímpar e , então a equação não tem solução em inteiros.
DEMONSTRAÇÃO
I - Primeiramente, no caso de , temos e . Uma vez que , e são inteiros, é divisor positivo de . Já que é um primo ímpar, os divisores positivos de são: ,e .
Temos, então, sistemas de equações:
Dos três sistemas acima, somente o é compatível.
O sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre dois inteiros é igual a ( sendo um primo ímpar ), a soma desses dois números não pode ser igual a unidade.
O sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre dois inteiros é igual a , a soma desses dois números não pode ser igual a .
Se encontrarmos inteiros positivos que satisfaçam o sistema, eles também satisfazem .
Resolvendo o sistema, obtém-se e .
Como é um primo ímpar, se escolhermos, por exemplo , obtém-se: e . Por inspeção, verifica-se que estes valores satisfazem o sistema e a equação .
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
II-Para , temos e isto implica que é divisor positivo de . Os divisores de , com primo ímpar, são , , , e . Temos, então, sistemas de equações:
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
V-Seja . Se , temos
II-Para , temos e isto implica que é divisor positivo de . Os divisores de , com primo ímpar, são , , , e . Temos, então, sistemas de equações:
O sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a ( com primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a unidade.
O sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a ( com primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a .
O sistema é incompatível, visto que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a , a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a .
No sistema, temos na sua primeira equação e é divisor de ( primo ímpar ). Assim, temos ou . Montamos os sistemas
O sistema é incompatível, haja vista que se a diferença de entre dois inteiros é igual a , a soma desses dois inteiros não pode ser igual à unidade.
O sistema é incompatível, uma vez que se , então .
Portanto, o sistema é incompatível.
No sistema, na sua primeira equação . Uma vez que e são inteiros, não pode ser igual à unidade porque teríamos ( impossível ).
Portanto, o sistema é incompatível.
Como nenhum dos cinco sistemas de equações é compatível, a equação não tem soluções inteiras, se ou for ímpar. Logo, dado o inteiro , a equação também não tem.
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
III-Para , temos ou o que implica que é divisor de ( primo ímpar ). Divisores de : , , e .
Temos, então, sistemas de equações:
Como e analisando as segundas equações dos , e sistemas, verifica-se que estes são incompatíveis.
O sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse , ou seja, ( neste caso, ou , ). Assim, .
Logo, se ou for um primo ímpar e não tem soluções inteiras, dado o inteiro , a equação também não tem.
Se for um primo ímpar e ou for um primo ímpar, a equação não possui soluções inteiras. Segue-se as justificativas.
IV-Seja . Se , temos ou
Já que divide ( com primo ímpar ), temos que ou ou ou ou ou . Segue, então, sistemas:
Como e analisando as segundas equações dos , , , e sistemas, percebe-se que estes são incompatíveis.
O sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse , ou seja, ( neste caso, ou , ). Assim, .
V-Seja . Se , temos
ou
Já que divide ( com primo ímpar ), temos que ou ou ou ou ou ou ou . Segue, então, o seguintes sistemas:
Como , os sete primeiros sistemas são incompatíveis ( pelo mesmo motivo dos casos anteriores ).
O sistema também o é, haja vista que se a segunda equação deste sistema fosse , teria soluções em inteiros: ou e . Logo, .
Chega-se ao mesmo resultado considerando um primo ímpar.
CONCLUSÃO: Para , com ou primo ímpar, sempre vamos encontrar sistemas de equações incompatíveis. A fim de que o Último Teorema de Fermat () seja demonstrado, usando a matemática do século , resta provar, aproveitando o resultado do presente trabalho, que a equação não tem soluções em inteiros se e forem compostos.
: Isto é um desafio para os UTFistas de plantão.
Tópico relacionado: UTF:Demonstração de Caso Particular-I
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