No presente post, usarei o conceito de congruências e o teorema de Euler ( ) para demonstrar o pequeno teorema de Fermat ( ).
Utilizaremos a seguinte notação:
a) "" que significa "divide". Ex:( divide );
b) para indicar o máximo divisor comum de e ;
c) ( ) para indicar que e deixam o mesmo resto quando divididos por . O símbolo indica uma relação de congruência e suas propriedades estão demonstradas no artigo 048.
Utilizaremos a seguinte notação:
a) "" que significa "divide". Ex:( divide );
b) para indicar o máximo divisor comum de e ;
c) ( ) para indicar que e deixam o mesmo resto quando divididos por . O símbolo indica uma relação de congruência e suas propriedades estão demonstradas no artigo 048.
Função de Euler : É a função aritmética definida por
número de inteiros positivos que são primos com .
Por exemplo, no conjunto dos inteiros positivos
verificamos que apenas os elementos e são primos com , logo .
Em particular e se for um primo, sabemos que ele é primo com todos os inteiros positivos anteriores ao mesmo. Logo,
Sistema reduzido de resíduos módulo ( s.r.r ). É o conjunto onde:
Dado o conjunto de inteiros positivos que são primos com [ ],
1) O número de elementos de é o mesmo de ;
2) Para cada elemento de temos um elemento de , onde ( ).
Assim, o próprio conjunto pode ser considerado trivialmente um s.r.r .
Obs: Um sistema completo de resíduos módulo ( s.c.r ) é aquele onde verifica-se e mas, neste caso, o conjunto seria dos restos da divisão de um inteiro qualquer por , ou seja, e .
Exemplos de sistemas reduzidos de resíduos módulo
e
De fato, os dois conjuntos possuem o mesmo número de elementos e cada elemento do primeiro conjunto é primo com . Além disso, referente ao segundo conjunto, temos
( )
( )
( )
( )
Pode-se provar que se
é um sistema reduzido de resíduos módulo e se , então
também é um sistema reduzido de resíduos módulo .
Teorema de Euler: Seja , com . Então
( )
Demonstração: Lembrem-se que, em congruências, se ( ), mas a recíproca é verdadeira ( propriedade do cancelamento ) apenas se
Seja e dois sistemas reduzidos de resíduos módulo .
Seja e dois sistemas reduzidos de resíduos módulo .
Assim, para cada existe um , onde ( ) e, consequentemente,
( )
( )
E como cada é primo com , ou seja , podemos utilizar a propriedade do cancelamento:
( )
Ex: Sejam e . Vejam que . Os inteiros positivos que são primos com são e . Assim . Logo,
( )
De fato, pois
E também, sendo e , já que de qualquer forma , temos e
( ), ou seja
Teorema de Fermat: Seja um primo. Então para qualquer , temos que , ou seja
( )
Demonstração: Primeiramente, caso , temos ( ) ( ) e pela propriedade transitiva, ( ). Suponha, então, e somado ao fato de ser um primo temos . Logo, pelo teorema de Euler
( )
( )
( )
( )
Referência Bibliográfica
Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999.
Oi! Teixeira! Ando meio enrolado. Esses teoremas são fundamentais na Teoria do Números, e há mais o de Wilson. lembra-se que eu comentei que com P(n;p) se poderia demonstrá-lo? Bom P(n;n)=n!, agora se p é primo vamos considerar P(p-1;p-1)=(p-1)! Agora usando o pequeno teorema de Fermat em cada termo do desenvolvimento de P(p-1;p-1) o teorema de Wilson sai fácil. abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirAgora entendi o que quis dizer.Muito interessante! Essa correlação de assuntos matemáticos sempre me impressionaram.
Eu estava preparando o terreno para provar a recíproca do teorema de Wilson. Já escrevi sobre o de Euler e ainda falta o de Lagrange. Utilizarei estes dois teoremas na clássica demonstração do teorema de Wilson. Neste momento, publicarei a sua demonstração.
Mas já está em acabamento meu post sobre equação de congruência linear. Depois seguirá sobre o teorema de Lagrange e após isso, as demonstrações de Wilson(incluindo a sua).
Achei aquele post sobre Fórmula Geral sobre Somatório de Potências excelente e fiquei muito grato com sua colaboração. Pretendo colocá-lo no próximo carnaval UBM.
Abraços!
Boa noite. Gostaria de saber o que è essa formula geral sobre somatorio de potencias. estou desenvolvendo um trabalho nessa área e fiquei curioso.
Excluirobrigado
Oi, Palo Lucas! Veja o post 031. Agradeceria se fosse um seguidor.
ResponderExcluirValeu Broder!
ExcluirBrigaduuuuuuuuuuuuuu.
Grande Aloisio,
Excluirvc conhece o resultado:
A FUNÇÃO DE EULER É UMA SOMA FINITA
Estou tentando publicar, mas tá muito dificil.
Depois eu posto esse resultado.
Valeu.