sábado, 28 de julho de 2012

057-Equações Polinomiais. Raízes Racionais

Teorema. Se a equação polinomial de coeficientes inteiros

[;A_0x^m+A_1x^{x-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;] 

admitir a raíz racional irredutível [;x=\frac{p}{q};] , então

  * [;p;] é divisor de [;A_m;]
[;q;]  é divisor de [;A_0;]

Demonstração. Sendo [;x=\frac{p}{q};] uma raíz racional, temos

[;A_0 \left(\frac{p}{q} \right)^m + A_1 \left(\frac{p}{q} \right)^{m-1}+...+A_{m-1} \left(\frac{p}{q} \right)+A_m=0;] 

Multiplicando por [;q^m;]  ,

[;A_0p^m+A_1p^{m-1}q+...+A_{m-1}pq^{m-1}+A_mq^m=0;] (1)

Colocando [;p;] em evidência e passando o último termo para o segundo membro,

[;p(A_0p^{m-1}+A_1p^{m-2}q+...+A_{m-1}q^{m-1})=-A_mq^m;]

Observem que, no primeiro membro, temos um produto com o fator [;p;]. Haja vista que este resultado é inteiro, [;p;] é divisor do segundo membro [;-A_mq^m;]. Como [;p;] e [;q;] são primos entre si ( já que, por hipótese, a raíz [;x=p/q;] é irredutível ), concluimos que [;p;] é divisor de [;A_m;].

Na igualdade (1) , também podemos colocar [;q;] em evidência ( em lugar de [;p;] ) e passar o primeiro termo para o segundo membro:

[;q(A_1p^{m-1}+...+A_{m-1}pq^{m-2}+A_mq^{m-1})=-A_0p^m;] 

De modo análogo, concluimos que [;q;] é divisor de [;A_0;] e está completa a demonstração.


Corolário [;1;]. Toda raiz inteira não nula de uma equação polinomial de coeficientes inteiros é divisor do último termo [;A_m;].
De fato, pois, dado a raíz [;x=x_0 \neq 0 ;], com [;x_0 \in \mathbb{Z};], podemos fazer [;x=\frac{p}{q}=\frac{x_0}{1};]. Assim, [;x=p=x_0;] é divisor do último termo [;A_m;].

Corolário [;2;]Se a equação de coeficientes inteiros

[;x_m+A_1x^{m-1}+...+A_m=0;] 

admitir raízes racionais, elas serão necessariamente inteiras e divisores de [;A_m;] .

De fato, pois, como [;A_0=1;] e  se [;x=\frac{p}{q};] for raíz, logo [;q;] será divisor de [;A_0=1;] e, portanto [;q= \pm 1;] ,fazendo com que a raiz racional [; x;] seja inteira e consequentemente divisor de [;A_m;] pelo corolário [;1;].


[;\rightarrow;] A prova da irracionalidade de [;\sqrt{2;] é um caso particular da aplicação do corolário [;2;]


Exercício [;1;]. Provar que [;\sqrt[5]{7};] é irracional. 

Resolução:  temos [;x= \sqrt[5]{7} \Rightarrow x^5-7=0;]. Se esta equação tiver raízes racionais, elas serão inteiras e divisor de [;7;]. Como nenhum dos divisores [;-7;], [;-1;],[;+1;] e [;+7;] satisfazem a equação, logo [;\sqrt[5]{7};] é irracional.

[;\rightarrow;] Podemos investigar as raízes racionais por intermédio das raízes inteiras. 

Para isto é necessário uma transformação multiplicativa na equação polinomial. 


Transformação multiplicativa. Dizemos que uma equação polinomial [;M(y)=0;] está  transformada multiplicativamente em relação à equação polinomial [;P(x)=0;], quando as raízes [;y;] da primeira são múltiplas das raízes [; x;] desta última.  Assim, temos

[;y=kx;] , com [;k \in \mathbb{R}-\left{0,1 \right};] 

Então temos, [;x=\frac{y}{k};] , que será substituído em [;P(x)=0;] para obter a transformada [;M(y)=0;]


Exercício [;2;]. Achar a transformada de raízes duplas da equação.

[;2x^3-3x^2-11x+6=0;]

Resolução:  Temos que achar uma segunda equação polinomual em [;y;] de forma que [;y=2x;]. Nesta condição, temos [;x= \frac{y}{2};] e, substituindo na equação dada, obtemos

[;2 \left(\frac{y}{2} \right)^3-3 \left(\frac{y}{2} \right)^2-11 \left(\frac{y}{2} \right)+6=0 \Rightarrow;]

[;\frac{2y^3}{8}-\frac{3y^2}{4}-\frac{11y}{2}+6=0 \Rightarrow;]  

[;y^3-3y^2-22y+24=0;] 

Observem que na equação original é possível a existência de raízes fracionárias. Já na transformada, se existir raízes racionais, elas serão inteiras. 


No primeiro exercício ilustramos o método da transformação. Agora vamos usá-la  deliberadamente  com o objetivo de sondar raízes fracionárias por meio das inteiras, caso existam. 


Exercício [;3;].  Transformar multiplicativamente a equação [;3x^3-10x^2+9x-2=0;] de forma que a transformada não admita raízes fracionárias.

Resolução. Na transformada,  os coeficientes devem ser inteiros e o termo de maior grau deve ser [;1;].

[;y=kx \Rightarrow x=\frac{y}{k};]. Substituindo na equação, temos

[;\frac{3y^3}{k^3}-\frac{10y^2}{k^2}+\frac{9y}{k}-2=0 \Rightarrow;]

[;3y^3-10ky^2+9k^2y-2k^3=0;] 

Agora é só fazer [;k=3;]  e dividir ambos os membros por [;3;] para obtermos a transformada

[;y^3-10y^2+27y-18=0;]

que não admite raízes fracionárias. 


[;\rightarrow;] A aplicação estudada é interessante na medida em que podemos achar as raízes fracionárias de uma equação polinomial, calculando as raízes inteiras da transformada, por meio de algum algoritmo. 


Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.

Tópico relacionado. Teorema de Bolzano 



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