quinta-feira, 2 de agosto de 2012

060-O Teorema Fundamental da Aritmética

Os átomos estão para a natureza, assim como os primos estão para os naturais.

Seja [;p \in \mathbb{N};], com [;p>1;] . [;p;] é chamado de primo se seus únicos divisores positivos são [;1;] e [;p;].
Um inteiro [;n;] que tem mais de dois divisores positivos é chamado de número composto.

Os números compostos levam este nome porque suas unidades básicas são os números primos, relativo a operação de multiplicação, conforme o teorema a seguir.

Teorema Fundamental da Aritmética. Qualquer número natural [;n>1;] é primo ou pode ser decomposto ( fatorado ) de uma única forma em fatores primos.

DEMONSTRAÇÃO 
 
Primeira parte. Existência da decomposição

Usaremos o princípio da indução matemática. Se [;n;] for primo, nada há a demonstrar. Considere, então, [;n;] composto. Neste caso, o menor valor onde o teorema se verifica válido é  [;n_0=4=2.2;]. Suponhamos que o teorema também seja válido para todos os números maiores que [;4;] e menores que [;n;]. Como este é composto, existem [;a;] e [;b;] [;\in \mathbb{N};], onde [;1 < a,b < n;], tais que [;n=ab;]. Mas, como [;a;] e [;b;] são menores que [;n;], e por hipótese de indução, existem primos [;r_1,r_2,...,r_t,q_1,q_2,...,q_s;] de forma que

[;a=r_1.r_2...r_t;]  e [;b=q_1q_2...q_s;]

Logo, [;n=ab=r_1r_2...r_tq_1q_2...q_s;]

ou seja, [;n;] também pode ser decomposto em fatores primos, como queríamos provar.

Segunda parte. Unicidade da decomposição.

Usaremos a redução ao absurdo. Suponhamos que o número [;n;] admita duas decomposições diferentes.Sejam elas:

[;n=p_1.p_2...p_k;] (1)

[;n=q_1.q_2...q_r;] (2)

Vamos supor, também, que [;r \geq k;].  Assim,

[;p_1p_2...p_k=q_1q_2...q_r \Rightarrow p_2...p_k=\frac{q_1q_2...q_r}{p_1};]  

Concluímos que [;p_1;] deve ser algum dos fatores [;q_i;].  Cancelando estes fatores comuns, temos

[; p_2...p_k=q_1q_2...q_{r-1};]
Prosseguindo com a mesma lógica,

[;p_3...p_k=\frac{q_1q_2...q_{r-1}}{p_2} \Rightarrow ;] 

[;p_3...p_k=q_1q_2...q_{r-2};], etc

Portanto, para cada [;p_j;]  do primeiro membro, vamos ter um [;q_i;] do segundo membro onde [;p_j=q_i;]. Podemos, então reescrever  (2) da seguinte maneira:

[;n=p_1.p_2...p_kq_jq_{j+1}...q_{j+m};]

Mas, dividindo (2) por (1), temos [;1=q_jq_{j+1}...q_{j+m};], um absurdo. Mas não seria se em (1) e (2) se verificasse [;k=r;] ( mesma quantidade de primos ) e [;p_i=q_i;] ( igualdade dos primos correspondentes ). Logo, a decomposição de [;n;] em fatores primos é única. 


APÊNDICE - Resposta dos exercícios propostos do post 043.

Todas as equações ( tipo [;a^n+b^n=c;], com [;a>b;] ) a seguir admitem soluções inteiras. Para achar as mesmas, usamos a fórmula

[;u=log_a(c-1)=\frac{ln (c-1)}{ln a};],

 onde a raíz [;n=[u];] é a parte inteira de [;u;].


[;1);] Resolver a equação em, [;U= \mathbb{N}^*;], [;10^n+5^n=125;] 

Resolução: [;a=10;], [;b=5;] e [;c=125;]

[;u=log_a(c-1)=log_{10} (125-1)=log_{10} 124 \approx 2,09 \Rightarrow n=[2,09]=2;]   


[;2);] Resolver a equação em [;U= \mathbb{N}^*;], [;6^n+5^n=1921;].

Resolução: [;a=6;]  , [;b=5;] e [;c=1921;]

[;u=log_a(c-1)=log_{6} (1921-1)=log_{6} 1920 = \frac{ln 1920}{ln 6} \approx 4,21 \Rightarrow n=[4,21]=4;]


[;3);] Resolver a equação em [;U= \mathbb{N}^*;], [;8^n+3^n=33011;]

Resolução: [;a=8;], [;b=3;] e [;c=33011;]

[;u=log_a(c-1)=log_{8} (33011-1)=log_{8} 33010 = \frac{ln 33010}{ln 8} \approx 5,003 \Rightarrow n=[5,003]=5;]

Observação: podemos aplicar este método em equações polinomiais ( veja nos comentários do post 043  ).


Referência Bibliográfica

Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999;
Fundamentos de Matemática Elementar-Logaritmos (2), Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami, Atual Editora, 1996.

Gostará de ler também:

022-O Teorema Fundamental da Álgebra 
043-Equação Exponencial Especial

Imagem: http://bioblog-info.blogspot.com.br/2012/02/atomo.html


5 comentários:

  1. Olá Aloisio, achei interessante o seu método de resolver estas equações, mas aplicando para a equação 5^n + 8^n = 35893 encontramos n = 6 como resposta, mas o correto é n = 5. O que está havendo?

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  2. Oi, Paulo!

    Em [;a^n+b^n=c;], o método funciona com a condição [;a>b;]. Tente de novo com [;8^n+5^n=35893;].

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  3. Não li em detalhes a teoria. Obrigado pela correção.

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  4. Olá Aloísio,

    Que interessante. Fiz algumas simulações com números grandes e funciona bem esse método para encontrar os expoentes. Muito legal.

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  5. Obrigado, Kleber! ´Na demonstração usei intervalos. O que seria da matemática se não fosse eles? Rs

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