Dado , número de Fermat é todo inteiro positivo da forma
Seus primeiros cinco valores são todos primos:
Em , Fermat , em correspondência, via Mersene , com ilustres matemáticos de Paris, entre eles Descartes e Pascal , conjecturou que é primo para todo inteiro . Mas, em , Euler provou que é composto. Além disso, até hoje, não se conseguiu encontrar outros números de Fermat que sejam primos, depois dos cinco primeiros. Portanto, a conjectura atual é que todos os sejam compostos.
Teorema . O número de Fermat é composto.
Demonstração devida à G.Bennet
Sejam e
Assim,
E ainda,
Mas,
Logo, divide
Teorema . Os números de Fermat verificam a igualdade
Demonstração
Agora, se multiplicarmos o segundo membro por , isto desencadeará uma série de produtos notáveis da forma em um efeito "dominó" que sintetizará toda a expressão. Observem:
Teorema . Dois números quaisquer de Fermat não possuem divisores primos comuns, ou seja, se , então .
Demonstração
Suponha . Seja . Como é ímpar, segue-se que também é ímpar, pois não necessita de nenhum fator para cancelamento com ou , já que é divisível (MDC). Calculemos
Para melhor visualização dos cálculos, vamos fazer e . Então fica
,
conforme a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo e razão . Se não, vejamos: ( lembrem-se que e, portanto, par ).
Assim, o segundo membro da expressão é inteiro. Portanto, divide ;
Como divide , segue-se que divide , ou seja, é inteiro;
Mas, divide e, portanto, divide . Como já vimos que é ímpar, só nos resta , já que estamos tratando de inteiros positivos.
Logo, .
Reparem os leitores, na tabela do início do post, que , e terminam em . Será que termina em para todo ? Segue o teorema.
Teorema . O algarismo das unidades do número de Fermat é para todo .
Demonstração
É fácil provar por indução que (mod ), para todo . Logo,
(mod ), para todo .
Algumas outras propriedades dos números de Fermat deixarei como exercícios.
Exercícios propostos
Provar que nenhum número de Fermat, de índice é a soma de dois primos.
Provar que nenhum número de Fermat é um quadrado perfeito.
Provar que nenhum número de Fermat é um cubo perfeito.
Provar que nenhum número de Fermat é um número triangular.
Referência bibliográfica: Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .
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