Fiz este estudo em sobre uma questão que me foi proposta por meu sobrinho Hunasses Souza, de Fortaleza / CE.
Considere a seguinte sequência numérica:
Observem que nela existem subsequências do tipo , onde , de forma que a cada recontagem de em , o número de termos de fica acrescido de uma unidade.
Como calcular o enésimo termo de ? Ou melhor, qual a fórmula do termo geral ?
Para responder a esta pergunta, vamos primeiro enumerar as subsequências de acordo com o seu número de termos, da seguinte forma:
....................................
Assim, a posição do termo genérico que finaliza uma subsequência em , é a soma dos índices de , ou seja
(1)
Logo, dado a posição de em , temos que calcular por intermédio de (1), que indicará em qual subsequência estará .
No entanto, pode acontecer que (a), no caso de não finalizar uma subsequência . Logo, terá um valor entre o último termo de e o último termo de , ou seja,
Suponhamos que que queremos calcular o termo de posição da sequência . Começamos indagando sobre o índice da subsequência . Para isto, temos que enquadrar entre os números triangulares 1,3,6 e 10 que representam as somas dos índices de . Basta resolver a equação
No entanto, pode acontecer que (a), no caso de não finalizar uma subsequência . Logo, terá um valor entre o último termo de e o último termo de , ou seja,
Assim, resolvendo a equação (1) na variável tendo em vista a condição (a) e sendo a raiz encontrada, consequentemente, , de forma que .
Se designar a parte inteira de , então o índice da subsequência no qual se encontra será
Veremos agora um exemplo esclarecedor. Observem a seguinte tabela:
cuja solução positiva é, aproximadamente, . Logo,
e já sabemos que se encontra na quarta subsequência ( ).
Em seguida teremos que encontrar o índice (última linha da tabela) de , tendo em vista que .
Seja do termo de correspondente ao último termo da subsequência , ou seja,
Assim, os quatro termos () de corresponderão aos índices : . Portanto, é referente a . Logo,
Podemos generalizar da sequinte forma.
O primeiro índice do termo de que inicia a subsequência que contêm é . De fato, pois ;
O número de termos que vai de a é . Comprove: ;
E o enésimo termo de é
onde,
é fornecido;
; e
Válido caso não seja um inteiro positivo. Caso seja, vale as fórmulas:
, com
EXEMPLOS
1) Calcular .
Resolução
2) Calcular .
Resolução
_*_
Convido os leitores a resolverem os problemas do post 058 .
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Olá Aloisio,
ResponderExcluirAgradeço por comentar esta sequência e colocar meu nome!
Como tinha dito antes para vc em outra ocasião,esta sequencia teve origem em outra.Eu queria achar a formula do termo geral da soma da serie harmônica:1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n.E numa certa oportunidade,transformei esta soma em:1+(1/4+1/4)+(1/9+1/9+1/9)+(1/16+1/16+1/16+1/16)+....+(1/n^2+1/n^2+...+1/n^2).A qtd de termos dentro do parênteses é n.
Então me fiz uma pergunta:É possível simplificar está soma para números mais simples?
Dai surgiu:1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+1/4+1/4+1/4+1/4+....E se nao me falha a memória,a sequencia que vc comentou são restos de certa divisão.
Você lembra de onde vem?Mistério!!kkkk
Abraços.