ELEMENTOS: 106-O Teorema de Pitágoras e o Cosseno da Soma

Diagrama 1

A relação fundamental da trigonometria $sen^2 \ \theta + cos^2 \ \theta=1$ é a expressão trigonométrica do teorema de Pitágoras ( $TP$ ) . De fato, dado um ponto arbitrário $P(cos \ \theta,sen \ \theta)$ no ciclo trigonométrico, temos que a soma dos quadrados de suas coordenadas é $cos^2 \ \theta+sen^2 \ \theta=(\pm cos \ \alpha)^2+(\pm sen \ \alpha)^2=r^2=1$ .

Diagrama 2

Na geometria analítica, o teorema de Pitágoras é expressado pela fórmula da distância $D^2=(a-c)^2+(b-d)^2$ entre os pontos $(a,b)$ e $(c,d)$ .

Vejamos como podemos utilizar estes dois enfoques do $TP$ para demonstrar a fórmula do cosseno da soma de dois arcos:

$cos(a+b)=cos \ a.cos \ b-sen \ a.sen \ b$

A estratégia para provar $cos(a+b)$ é a seguinte. Observem o diagrama diagrama $3$ . Primeiro calcula-se a distância $AB$ com as coordenadas de cada ponto. Depois transladamos o triângulo $AOB$ ( diagrama $4$ ) de forma que o ângulo $a$ fique negativo . Do mesmo jeito, calculamos novamente a distância $AB$ . Então igualamos os resultados das distâncias ( já que são a mesma ) e cancelamos os termos iguais. O que sobrar é a expressão para $cos(a+b)$ . Vamos aos cálculos.

Diagrama 3

No diagrama $3$ as coordenadas de $A$ e $B$ são:

$A(1,0)$

$B(cos(a+b), sen(a+b))$

A distância entre $A$ e $B$ é tal que

$D^2=[1-cos(a+b)]^2+[0-sen(a+b)]^2 \Rightarrow$

$D^2=1-2.cos(a+b)+\underbrace{cos^2(a+b)+sen^2(a+b)}_1 \Rightarrow$

$D^2=2-2.cos(a+b)$ (1)

Diagrama 4

No diagrama diagrama $4$ as coordenadas de $A$ e $B$ são:

$A(cos \ a,-sen \ a)$
$B(cos \ b, sen \ b)$

A distância entre $A$ e $B$ é tal que

$D^2=(cos \ a \ -cos \ b )^2+(-sen \ a - sen \ b)^ 2 \Rightarrow$
$D^2= \underbrace{cos^2 \ a-2.cos \ a.cos \ b+cos^2 \ b}+\underbrace{sen^2 \ a+2.sen \ a.sen \ b+sen^2 \ b} \Rightarrow$
$D^2= \underbrace{cos^2 \ a}-2.cos \ a.cos \ b+\overbrace{cos^2 \ b}+\underbrace{sen^2 \ a}+2.sen \ a.sen \ b+\overbrace{sen^2 \ b} \Rightarrow$
$D^2= 2-2.cos \ a.cos \ b+2.sen \ a.sen \ b$ (2)

Igualando (1) com (2), temos

$2-2.cos(a+b)=2-2.cos \ a.cos \ b+2.sen \ a.sen \ b \Rightarrow$
$1-cos(a+b)=1-cos \ a.cos \ b+sen \ a.sen \ b \Rightarrow$
$-cos(a+b)=-cos \ a.cos \ b+sen \ a.sen \ b \Rightarrow$

$cos(a+b)=cos \ a.cos \ b-sen \ a.sen \ b$

_*_

Para achar $cos(a-b)$ basta lembrar que $sen(-b)=-sen(b)$ , $cos(-b)=cos(b)$ e fazer

$cos (a-b)=cos[a+(-b)]=cos \ a.cos(-b)-sen(a).sen(-b) \Rightarrow$

$cos (a-b)=cos \ a.cos \ b+sen \ a.sen \ b$

_*_

Como $sen \ \theta=cos(\theta-\pi/2)$ ,deixo como exercícios aos leitores as provas de que

$sen(a+b)=sen\ a .cos \ b+sen \ b.cos \ a$

$sen(a-b)=sen\ a .cos \ b-sen \ b.cos \ a$

_*_

Para finalizar, deixo um excelente vídeo do youtube sobre a demonstração tradicional para $sen(a+b)$ .Obs: para aumentar a tela cliquem no quadrado abaixo e à direita do vídeo. Ou então assistam neste link: http://www.youtube.com/watch?v=X7icfnFNA6c

Referência Bibliográfica:

Cálculo, Serge Lang, Volume $1$ , Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, $1976$ .

Gostará de ler também:

[081]Equação Ciclotômica
[082]Valores Trigonométricos de z=A+Bi
[083]Valores Trigonométricos de z=A+Bi (II)

2 comentários:

Pós-G em Física13 de fevereiro de 2013 às 10:19
Realmente, a demostração apresentada é muito elegante: mais natural, ao meu ver, que a demonstração tradicional.

Parabéns.
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Aloisio Teixeira13 de fevereiro de 2013 às 11:57
Oi, João Elias F.S. Rodrigues!

Estou vendo se consigo um ajuste para provar sen(a+b) sem recorrer para cos(a+b).

Obrigdo pela visita e comentário.

Um abraço
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terça-feira, 12 de fevereiro de 2013

106-O Teorema de Pitágoras e o Cosseno da Soma

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V.O