terça-feira, 2 de abril de 2013

110-Somatórios Trigonométricos e TDL do Seno e Cosseno


Veremos neste artigo:

[;1^o;]-A demonstração das identidades

    

 

[;2^o;]- Com as identidades,  o cálculo dos somatórios  ;

[;3^o;]- Com os somatórios, a obtenção das transformadas discretas de Laplace () e nas bases e .



Fórmulas para seno e cosseno de arcos múltiplos 



Primeira identidade.

Demonstração. Levando em conta que , temos




Somando com , obtemos







Mas como , chegamos à





Segunda identidade.

Demonstração. Desde que  , temos



Somando com  , obtemos 


  

 







Somatório exponencial-trigonométrico do seno 





Usaremos a primeira identidade. Começaremos com






















 

 


À partir da segunda parcela, colocando em evidência e, por sua vez, em evidência, temos





Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete , temos

 




Por fim, resolvemos a equação em  :


 



  






Somatório exponencial-trigonométrico do cosseno 



O somatório [;\sum_{n=1}^n b^ncos (\alpha n);] é calculado nos mesmos moldes do anterior. Usaremos, desta vez,  a identidade para . Observem que no processo não utilizaremos de forma nenhuma a função seno.








[;+...+;] 



 








À partir da segunda parcela, colocando em evidência e, por sua vez, em evidência, temos





Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete ,temos

 


 

Por fim, resolvemos a equação em  :










  






A transformada discreta de Laplace ( [;TDL;] )


 A transformada discreta de Laplace () é um operador que se usa sobre uma função discreta ( domínio natural ) de forma que obtemos uma outra função em uma nova variável: .

Temos duas versões da .

A primeira consiste em multiplicar a função discreta por e calcular o somatório nos limites e . ( real  positivo e = número de Euler ).

 .

Na segunda  versão, multiplicamos por e calculamos o somatório nos limites e . ( real  positivo ).

 
A   existirá, desde que seu somatório específico tenham um limite.



da função discreta ( )



Vimos que 


Base . Se , , com e mudando os limites inferior e superior do somatório para e , respectivamente, temos




Base [;2;]. Se , , com e mudando o limite superior  do somatório original para [;n \rightarrow \infty;], temos







da função discreta ( )




Analogamente, mas utilizando e  com a ressalva de que , temos


Base [;e;]



Base [;2;].   










Referência bibliográfica.

Manual de Sequências e Séries - Volume , Luís Lopes, QED TEXTE, ;
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Terceira edição, Coleção SCHAUM, Bookman, ;
Fundamentos de Matemática Elementar, Volume - Trigonometria, Atual Editora, .



Gostará de ler também:

109-Seno e Cosseno de Ângulo Múltiplo
105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama
029-Somatórios Trigonométricos





7 comentários:

  1. Olá Aloisio. Não consegui ler as equações acima. No seu computador elas aparecem normalmente?

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    1. Sim, Paulo, normalmente, pelo menos no Firefox.

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    2. Eu passei a usar o Chrome depois que eu tive aquele problema no blog. Os outros publicados eu consigo ler. Acabei de ver o post de número 108 e as equações aparecem normalmente.

      Com o novo editor que eu uso, as vezes algumas fórmulas não funciona. O que eu faço é usar o Latex Online e colocar a equação na forma de imagem.

      Tudo bem, vou ler com calma este seu post na forma que está.

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  2. Muito bom o post Aloisio. Usou apenas ferramentas elementares para obter as identidades trigonométricas e em consequência as TDL's de sin(na) e cos(na). Eu usei a identidade de Euler para obter as TDL's.

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    1. Obrigado, Paulo.

      Na referência [1] da bibliografia as fórmulas para sen(na) e cos(na) são usadas sem demonstração para as provas dos somatórios mistos.

      Para completar meus conhecimentos, eu adoraria ver seu processo para as TDL's das funções trigonométricas.

      Abraços.

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  3. Oi, Teixeira!
    Há muito tempo não "encaro" integrais e somatórios "escabrosos" mas me parece que são do teu gosto. Tomo a liberdade de lhe sugerir um livro: "Fisica Matemática de Butkov" Era (ou é) um livro-texto para os alunos de Física da USP.(720 páginas)(Eugene Butkov)
    Veja o índice:
    Vetores,matrizes e Cordenadas - Funções de uma variável complexa -Equações diferenciais lineares de segunda ordem - Séries de Fourier -Transformada de Laplace - Teoria das distribuições - Transformadas de Fourier -Equações diferenciais parciais -Funções especiais - Espaços de dimensão finita -Espaços de dimensão infinita - Funções de Green - Métodos variacionais -Ondas, radiação, espalhamento - Métodos de perturbação - Tensores
    Espero que goste (caso não o conheça) abçs

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    1. Oi, Tavano!

      Gosto muito de somatórios por serem o "buraco de minhoca" da matemática, se é que me entende.

      Obrigado pela indicação do livro, eu não o conhecia. Gostei dos tópicos. Verei se encontro em algum sebo.

      Valeu!

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