sábado, 6 de abril de 2013

111-Teorema de Gauss em Somatório Condicional


Para o trabalho em vigor, revisaremos sobre função aritmética multiplicativa e função de Euler.

Função aritmética multiplicativa () é toda função com a seguinte propriedade: desde que , temos

 

Esta propriedade é muito útil para calcular a imagem de um número composto em uma quando a mesma é definida tendo por base a potência de um primo.

Exemplos de : número de divisores positivos de e soma dos divisores positivos de .

Exemplos de aplicação. Calcular o número de divisores positivos de . Resolução. Os divisores positivos da potência de um primo, ou seja, , são, , , , ...,; de forma que temos divisores.  Logo, como , e  sabendo que número de divisores positivos de define uma , temos


divisores


Exercício. Se é um primo, então é a soma dos divisores positivos da potência . Calcule a soma dos divisores positivos de

Observação. As demonstrações de que e são estão no post 011.

Para finalizar a revisão, o teorema a seguir é válido para os inteiros positivos ,,,...,; onde cada um é primo com cada outro.  Se é uma , então

     

Esta generalização é um corolário da própria definição de e demonstrado no post  011.



Dois  números e são primos entre si quando seu único divisor positivo comum é . Em consequência, .  Exemplos: e .

Função de Euler é a função aritmética que indica o número de inteiros positivos menores ou iguais a e que são primos com .

Por exemplo,  os inteiros positivos menores que e que são primos com o mesmo são , , ,, , , , , , , e . Logo, .

Se é um primo, logicamente, , pois todos os inteiros positivos anteriores à são primos com . Temos, ainda, que  , demonstrado no post 063 .

é uma função aritmética multiplicativa - demonstração no post 063  .

Exercício. Calcular .




NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO CONDICIONAL POR DIVISORES 


Utilizaremos a seguinte notação.

 
Significa o somatório das imagens dos divisores positivos de em uma função aritmética qualquer . Por exemplo,

Dados e ,  temos que é a soma dos cubos dos divisores de ;

Com e , temos que é a soma dos quadrados dos recíprocos dos divisores de .

Mas, se é um divisor positivo de , então também é. Logo, temos a equivalência

 
      
As funções aritméticas definidas por ( número de divisores positivos de ) e ( soma dos divisores positivos de ) são a seguir representadas com a notação de somatório condicional por divisores: 




Uma função aritmética relacionada com este somatório especial é conhecida como produto de Dirichlet   ( ou convolução de Dirichlet - ver sobre este matemático no post 092  ) definida como se segue.

 Sejam e duas funções aritméticas. O produto de Dirichlet é a função aritmética 

 

cujas propriedades serão estudadas em um futuro artigo.


Lema .  Se é uma função aritmética multiplicatica, então a função aritmética definida por

 
também é multiplicativa. 


Demonstração. Sejam e dois inteiros positivos onde . Como estes dois números não possuem fatores primos em comum, temos que qualquer divisor positivo do produto é o produto de um divisor de com um divisor de , de forma que . No que segue

Mas, por hipótese, é uma função aritmética multiplicativa, ou seja, . Portanto, designando os divisores de como , ,...,; temos


 
 

caracterizando como uma função aritmética multiplicativa.




TEOREMA DE GAUSS



Este teorema relaciona a função de Euler com o somatório condicional por divisores, ou seja

Para todo inteiro , temos  


Como exemplo, seja . Seus divisores são , e ; e

= número de inteiros positivos  menores ou iguais à e que são primos com ;

= número de inteiros positivos  menores ou iguais à e que são primos com ;

  = número de inteiros positivos  menores ou iguais à e que são primos com

= número de inteiros positivos  menores ou iguais à e que são primos com


Assim, conforme o teorema de Gauss,



Demonstração.  Para , temos . Suponhamos agora, .

Conforme o lema ,vejam que define uma função aritmética multiplicativa porque também define. Logo, se a decomposição de em fatores primos é , temos



Pelo primeiro quadro de revisão, vimos que os divisores de , com , são ,, ,...,. E, no segundo quadro, recordamos que .

Assim, analisando apenas um fator de , obtemos



Concluimos, então, que 




o que queríamos demonstrar.








Referência bibliográfica.

Funções Aritméticas-Números Notáveis, Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .


Referência do blog para este artigo.  

011-Funções Aritméticas Multiplicativas 
063-Função de Euler
092-Disquisitiones Arithmeticae de Gauss 



Gostará de ler também ( observação - para a maioria destes artigos, as fórmulas são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox ):


[001]Uma Equação Diofantina Especial
[004]Números Perfeitos
[005]A Combinação Linear ax+by
[006]Equação Diofantina Especial 2
[009]Congruências mod10, mod4 e Potências
[017]O Algoritmo de Euclides e a Representação Binomial do mdc(a,b)
[097]Expoente de A Módulo M


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