122 - CALCULANDO O DIA DA SEMANA DE UMA DATA DE 2015

Sem usar um calendário padrão, existem tabelas que informam qual o dia da semana de uma data qualquer de qualquer ano, mas que, em geral, são algo complexas. O ideal para compreender a ideia central dessas ferramentas é considerar apenas o ano corrente e construir um algoritmo simples para descobrir qual o dia da semana de uma data de  , por exemplo. Com memorização e treinamento, é possível o leitor calcular, mentalmente, qualquer dia da semana de um data de , impressionando assim um amigo, referente a data de aniversário do mesmo ou outra data qualquer).

O algoritmo a seguir será justificado logo após o exemplo de sua utilização. Para calcular qual dia da semana é a data de de setembro de , consulta-se duas tabelas, da seguinte forma.

1) Calcula-se o resto da divisão do dia do mês, no caso , por . Temos então .

2) Soma-se com o código do mês da primeira tabela, ou seja, ( SET ). Então fica . Se o resultado for maior que , subtrai-se . Assim,

3) Por fim, com este  último resultado ( ), consultamos a segunda tabela e concluímos que o dia de setembro de recairá numa quinta-feira.

Cada ano terá sua tabela específica de código do dia da semana em sintonia com os primeiros sete dias do ano específico. Para os anos bissextos, a tabela código do mês é

JUSTIFICATIVA 

A aritmética modular, particularmente a de base , é a pedra angular em questões deste tipo. Um inteiro positivo , quando dividido por , deixa um resto , tal que, .  Dizemos então que é equivalente a este resto , módulo . Simbolicamente,  . Então qualquer inteiro positivo tem uma representação módulo , que nada mais é do que o resto da divisão deste inteiro positivo por .   Exemplo, , tento em vista que .

Para cada dia da semana, podemos atribuir um número , conforme os primeiros dias do mês de , iniciando com Quinta , porque foi o dia 1º. Procedendo desta forma, temos Sexta  , Sábado ,   Domingo , Segunda , Terça , e  Quarta .  Porque Quarta e não Quarta ? A resposta é que  e vamos sempre trabalhar com essas equivalências. Ora, cada dia da semana se repete de em dias. Assim, para descobrir que dia da semana será, por exemplo, dia de janeiro de , basta verificar a equivalência e sabemos que corresponde a um sábado. Porém, para dia de fevereiro, temos que levar em conta que é o dia de número do ano. Assim, como , temos que o primeiro dia de fevereiro recaíra no domingo, em harmonia com o cálculo anterior. Da mesma forma o dia do ano de número será numa Terça , porque .

Para entender o código do mês para ano não-bissexto, considere  a data do exemplo, de setembro de . Ela corresponde ao número de dias


  
Mas, na soma dos dias dos meses de janeiro a agosto, temos

 

Então é o código do mês de setembro para o ano não bissexto. Somado este resultado pela equivalência módulo do dia do mês , , temos , onde é o código para quinta-feira na segunda tabela.

Conclusão: o código do mês da primeira tabela é a equivalência módulo do somatório de todos os dias dos meses anteriores a . E como não se considera nenhum mês do ano anterior, tem-se que o código de janeiro é .

Mesma análise procede-se para os anos bissextos, onde, no somatório dos dias dos meses, considera-se o mês de fevereiro com dias. Para saber se determinado ano é bissexto, divide-se por . Se essa operação resultar exata, o ano é bissexto. Não é o caso de .

COMO CALCULAR OS SETES PRIMEIROS DIAS DA SEMANA DE 2016. 

Sabemos que a segunda tabela, a de código da semana, serve apenas para . Mas podemos construir uma para . Basta saber o dia da semana de de janeiro de , calculando o dia da semana de de dezembro de , usando as tabelas de . Procedendo com este cálculo ( fica como exercício ) saberemos que de dezembro de será uma quinta-feira. Logo, de janeiro de será uma sexta, que atribuiremos o código para a tabela semanal de que fica