domingo, 22 de outubro de 2017

129-Estudo de uma Função Transcendente Exponencial Trigonométrica

A presente postagem é um trabalho para a Faculdade de Matemática (FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) na disciplina Informática e Ensino. O professor Jocelino Sato propôs o seguinte.

"O assunto deste trabalho é o software GeoGebra e constituirá de um material escrito contendo um texto teórico sobre o estudo de uma função (propriedades, zeros, sinal, etc.), junto com o desenvolvimento de pelo menos duas construções, fazendo uso do GeoGebra, que possibilitem obter as ilustrações (figuras) presentes no texto e animações, mediante o uso de parâmetros de animações (seletores), de propriedades vistas no estudo teórico. Todo material escrito será produzido fazendo uso de editores de textos apropriados, por exemplo, o LyX, e do software Geogebra. Mas, o produto final será entregue no formato .html em um único arquivo, contendo o desenvolvimento do assunto (texto teórico contendo exemplos e ilustrações) e recursos (pelo menos dois Applets do Geogebra) que forneçam interfaces gráficas passíveis de serem manipuladas pelos usuário, instigando a curiosidade e a descoberta dos conceitos matemáticos.

Estudaremos a função definida por 

, com  e 

nos seguintes aspectos: domínio, período, imagem, amplitude, intersecção com os eixos coordenados, sinal,  intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de mínimo. Ao final da análise, faremos dois gráficos.



Domínio, período, imagem e amplitude


A função  assume o mesmo domínio e período  de , ou seja,   e .

A imagem ou os valores que  pode assumir vai depender se  ou se .  Isto porque os valores de estão limitados no intervalo  e caso , temos que a imagem de  é o intervalo. Por outro lado, se , temos a imagem no intervalo   . Se a base  ou , os limites do intervalo da imagem são tais que , em ambos os casos.


Defino como amplitude de uma função periódica limitada  o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de  é .



Intersecção com os eixo coordenados



O gráfico da  função definida por  intersecta simultaneamente o eixo  e  no ponto , pois  .  Por definição de função, o ponto  é único.

Acharemos agora todos os pontos do tipo .  Fazendo , temos


, com 

Logo, os pontos de intersecção do gráfico de   com o eixo  são da forma , com .




Sinal da função


Da função  já  sabemos todos os pontos tais que . Nos interessa agora o intervalo onde  e o intervalo onde . Temos dois casos a considerar relativo à base .


.

 
Então para

Então  para 


  Então  para 

  Então  para  





Intervalos de crescimento e decrescimento


Calculemos a derivada de .

 ( regra da cadeia )



Sendo , pois uma função exponencial pura é totalmente positiva, o sinal de  dependerá apenas do produto .


Novamente, temos dois casos a considerar.

Neste caso, o sinal de  dependerá exclusivamente do fator 

Então a função  é crescente para 

Então a função  é decrescente para 



Então a função  é crescente para 

 
Então a função   é decrescente para  



Pontos de máximo e pontos de mínimos 

Nos pontos de máximo  e mínimo as derivadas são nulas. Fazendo , temos


Analisando os intervalos de crescimento e decrescimento calculados na seção anterior, concluímos que

se , temos pontos de máximo para e pontos de mínimo para . Caso ,  temos pontos máximos para   e pontos de mínimo para .

    


O gráfico

Coletando todos os dados calculados, estamos em condições de construir um gráfico com recursos informativos e interativos de qualidade, utilizando uma poderosa ferramenta para estudos matemáticos,  o software gratuito GEOGEBRA ( https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR).
Faremos dois gráficos. Um para  e outro para .

Caro leitor, use as barretas de rolagem acima e à esquerda do gráfico para alterar os dados do mesmo.  Nestas ferramentas,  é a base da expressão que define a função em estudo e é o parâmetro inteiro de periodicidade de , tendo em vista que 











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