A presente postagem é um trabalho para a Faculdade de Matemática
(FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) na disciplina Informática e
Ensino. O professor Jocelino Sato propôs o seguinte.
"O assunto deste trabalho é o
software GeoGebra e constituirá de um material escrito
contendo um texto teórico sobre o
estudo de uma função (propriedades,
zeros, sinal, etc.),
junto com o desenvolvimento de pelo menos duas construções, fazendo uso
do GeoGebra,
que possibilitem obter as ilustrações (figuras) presentes no texto e
animações, mediante o
uso de parâmetros de animações (seletores), de propriedades vistas no
estudo teórico.
Todo material escrito será produzido fazendo uso de editores de textos
apropriados, por
exemplo, o LyX, e do software Geogebra. Mas, o produto final será
entregue no formato
.html em um único arquivo, contendo
o desenvolvimento do assunto (texto teórico contendo
exemplos e ilustrações) e recursos (pelo menos dois Applets do Geogebra)
que forneçam interfaces gráficas passíveis de serem manipuladas pelos
usuário, instigando a curiosidade e
a descoberta dos conceitos matemáticos."
Estudaremos a função definida por
, com , e
nos seguintes aspectos: domínio, período, imagem, amplitude,
intersecção com os eixos coordenados, sinal, intervalos de
crescimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de
mínimo. Ao final da análise, faremos dois gráficos.
A função assume o mesmo domínio e período de , ou seja, e .
A imagem ou os valores que pode assumir vai depender se ou se . Isto porque os valores de estão limitados no intervalo e caso , temos que a imagem de é o intervalo. Por outro lado, se , temos a imagem no intervalo . Se a base ou , os limites do intervalo da imagem são tais que , em ambos os casos.
Defino como amplitude de uma função periódica limitada o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de é .
Da função já sabemos todos os pontos tais que . Nos interessa agora o intervalo onde e o intervalo onde . Temos dois casos a considerar relativo à base .
Domínio, período, imagem e
amplitude
A função assume o mesmo domínio e período de , ou seja, e .
A imagem ou os valores que pode assumir vai depender se ou se . Isto porque os valores de estão limitados no intervalo e caso , temos que a imagem de é o intervalo. Por outro lado, se , temos a imagem no intervalo . Se a base ou , os limites do intervalo da imagem são tais que , em ambos os casos.
Defino como amplitude de uma função periódica limitada o módulo da diferença dos limites do intervalo de sua imagem. Assim, a amplitude de é .
Intersecção com os eixo
coordenados
O gráfico da função definida por intersecta
simultaneamente o eixo e no ponto , pois . Por
definição de função, o ponto é único.
Acharemos agora todos os pontos do tipo . Fazendo , temos
, com
Logo, os pontos de intersecção do gráfico de com o
eixo são da
forma , com .
Sinal da função
Da função já sabemos todos os pontos tais que . Nos interessa agora o intervalo onde e o intervalo onde . Temos dois casos a considerar relativo à base .
.
Então para
Então para
.
Então para
Então para
Intervalos de crescimento e
decrescimento
Calculemos a derivada de .
( regra da cadeia )
Sendo , pois uma função exponencial pura é totalmente positiva, o sinal de dependerá apenas do produto .
Novamente, temos dois casos a considerar.
Neste caso, o sinal de dependerá
exclusivamente do fator .
Então a função é crescente para
Então a função é decrescente
para
Então a função é crescente para
Então a função é decrescente para
Pontos de máximo e pontos de
mínimos
Nos pontos de máximo e mínimo as derivadas são nulas.
Fazendo , temos
Analisando os intervalos de crescimento e decrescimento calculados na
seção anterior, concluímos que
se , temos pontos de máximo
para e pontos de mínimo
para . Caso , temos pontos
máximos para e pontos de mínimo
para .
O gráfico
Coletando todos os dados calculados, estamos em condições de construir
um gráfico com recursos informativos e interativos de qualidade, utilizando uma poderosa ferramenta para estudos
matemáticos, o software gratuito GEOGEBRA (
https://www.geogebra.org/?lang=pt_BR).
Faremos dois gráficos. Um para e outro
para .
Caro leitor, use as barretas de rolagem acima e à esquerda do gráfico para alterar os dados do mesmo. Nestas ferramentas, é a base da expressão que define a função em estudo e é o parâmetro inteiro de periodicidade de , tendo em vista que .
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