O nascer do sol é uma certeza física ou matemática?
DERIVADA GEOMÉTRICA ou derivada
é uma operação aplicada em uma função aritmética qualquer
(desde que
para qualquer
), originando uma nova função aritmética
definida por
A derivada geométrica aplicada em uma progressão geométrica ordinária (
) definida por
é
Assim a derivada
de uma
ordinária é uma função aritmética constante
cujo valor é a própria razão da mesma.
INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral
é a operação inversa da derivada
de forma que se existir uma função aritmética definida por
, onde
, então
é a integral
de
. Simboliza-se
e
, onde
são considerados limites racionais.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM ou
é uma função aritmética definida por
( 1 )
com
e
.
TEOREMA
Se é uma
conforme
( 1 ),
então sua derivada
é
( 2 )
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:
1) Se
tem ordem
, então
tem ordem
.
2) Os coeficientes de
são os mesmos de
, com exceção de
, mas transladados de um fator para a esquerda.
DEMONSTRAÇÃO
Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas
do
triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte
e da mesma coluna
, ou seja,
( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo
e
a relação fica
Logo, temos
( 2 ):
NOTAÇÃO DAS DERIVADAS SUCESSIVAS DE
,
de ordem
, é o resultado da aplicação da derivada
em
,
de ordem
;
,
de ordem
, é o resultado da aplicação da derivada
em
,
de ordem
;
.........................................................................................................................
,
de ordem
, o resultado da aplicação da derivada
em
, de ordem
;
.........................................................................................................................
,
de ordem
, o resultado da aplicação da derivada
em
,
de ordem
.
Neste caso,
Assim,
, é uma
de ordem
, o resultado da aplicação da derivada
em
,
de ordem
.
Portanto,
. E para todo
temos
.
INVESTIGAÇÃO DAS BASES
Para
, temos
, visto que
é fator de
. Em consequência, os valores das bases
são calculados conforme a seguir.
...............................................................................................................
...............................................................................................................
Logo,
pode ser reescrita como
Exemplo de obtenção das bases. Seja a
definido por
. Se seus
valores iniciais são
, podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:
primeiros
valores de
, lembrando que estes dois valores são termos de uma
ordinária.
primeiro valor de
por ser a razão
de uma
ordinária.
Pegamos, então, as bases
na
diagonal esquerda deste triângulo numérico:
Logo,
, já que
Observação: a função aritmética
finita cujos valores são
tanto pode ser definida por
como por
, com
, caracterizando uma
progressão aritmética de primeira ordem (
) no
primeiro caso e uma
progressão geométrica de segunda ordem (
), no
segundo caso. No entanto,
se , enquanto
, por sua vez,
, ou seja, cada progressão segue seu caminho de acordo com sua natureza. Dado então
, pode-se mostrar que a sequência
pode ser os primeiros
valores de uma
de ordem
,
por maior que seja , com a seguinte armadilha:
!!.
Será que na natureza existem funções enganadoras como esta? Espero que não porque quero continuar tendo a certeza de que o sol nascerá amanhã....
PRODUTO DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA QUALQUER
Seja
uma função aritmética qualquer. Se existir
(
) tal que
então
E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que
ou seja, o
produto dos primeiros termos de uma função aritmética qualquer
é a
integral desta sequência nos limites racionais
e
.
PRODUTO DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA
Se a derivada
de
é
então, por indução inversa, podemos dizer que a integral
de
é
onde
é uma constante real arbitrária chamada de constante de integração geométrica. Logo, como
, temos