A equação diofantina linear 
ou não tem nenhuma solução inteira ou possui infinitas soluções inteiras. Isto decorre do fato de que, se houver soluções inteiras, então 
divide 
e 
divide 
. E nem sempre isto é possível.
Já no artigo 019 provei que se admitir uma solução 
, então para todo 
, as outras soluções 
terão o formato
O par é chamado de solução inicial e pode ser achada pelo algoritmo de Euclides, um método essencialmente aritmético e, por vezes, trabalhoso ( ver artigos 017 e 019.)
Mas, ainda no post 019, expus alguns atalhos para a solução inicial . No entanto, dependem da sorte dos coeficientes , e 
. Seja, por exemplo, resolver 
. Logo de cara vemos que 
e 
é uma solução inicial. Assim, as outras soluções são 
e 
, com . Mas esta facilidade não temos para a equação 
que tem soluções inteiras porque 
e divide 
. Neste caso é empregado o algoritmo de Euclides... ou o método algébrico que sugiro no presente artigo e no qual explanarei a seguir.
Existe uma maneira de fatorar , mas da forma que se apresenta é impossível. É necessário uma fissão de variáveis. Conseguido a fatoração, podemos utilizar o método dos divisores complementares utilizado para resolver a equação 
, conforme visto no artigo anterior.
Seja a equação
Seja a equação
Dividindo ambos os membros pelo coeficiente ,
Somando ambos os membros por 
,
Agora, fazendo 
e 
, com 
e 
, temos
E passamos para a conhecida fatoração do trinômio em 
do primeiro membro
Aqui, podemos chamar 
. Então 
e 
são divisores inteiros complementares de 
. Chamando estes divisores de 
e 
, onde 
, temos 
e 
, de forma que
Exemplo. Achar uma solução inicial para a EDL .
Temos então 
, 
e , com 
Os divisores inteiros de 
são 
Pegando os dois primeiros complementares, temos
Logo, uma solução inicial para a equação é 
.
E as outras soluções são geradas por 
e 
, com 
.
