e dele podemos extrair as regras gerais de derivação, como a regra da soma e a regra do produto de funções, etc, assim como as regras específicas, por exemplo, a derivada de uma potência 
.
No entanto, podemos calcular as derivadas de 
, 
e 
usando apenas matemática elementar. São exercícios interessantes de geometria analítica e plana.
Derivada de
No caso de , se queremos encontrar a inclinação 
da reta tangente ao ponto 
da parábola, primeiramente encontramos a equação da reta que passa pelo ponto , ou seja, 
ou 
. Mas, pelo ponto passam infinitas retas.
Para que a equação seja a da reta tangente que procuramos, é necessário que a igualdade 
tenha uma única solução, tendo em vista que existe um único ponto de contato. Isto é um caso de discriminante delta nulo na equação equivalente 
. Vejamos,
Para que a equação
Isto prova que 
, pois o ponto pode ser qualquer um da parábola ou 
.
Sabemos, pela geometria plana que, se temos duas retas de inclinações 
e 
e se as mesmas são perpendiculares entre si, então 
.
No diagrama, queremos achar a inclinação da reta tangente ao semicírculo no ponto
. A inclinação do raio é 
, logo, como o raio passando por é perpendicular à tangente em , temos que a inclinação da tangente ao semicírculo neste ponto é 
.
Como a equação do semicírculo é, decorre que
Derivada de
No diagrama, queremos achar a inclinação da reta tangente ao semicírculo no ponto
Como a equação do semicírculo é
Derivada de
Considere o ponto (vermelho) em movimento circular uniforme ( 
), sentido anti-horário, com raio de trajetória 
e espaço angular inicial zero, ou seja, quando 
, temos 
, medidos a partir do eixo horizontal, no primeiro quadrante e no sentido do movimento.
O tempo de uma volta completa é o período 
. Assim, a velocidade angular é 
e o espaço angular é dado por 
. O espaço e velocidade do ponto na própria trajetória são dados por 
e 
.
Seja agora o ponto 
(azul) a projeção do ponto no eixo 
. Acompanhando o movimento do ponto vermelho, o ponto azul faz um movimento oscilatório "para cima" e "para baixo", cujos extremos de espaço são 
e 
.
Nos interessa calcular as funções horárias do espaço 
e velocidade 
, do ponto azul.
Pelo diagrama ,verifique que o espaço percorrido pelo ponto azul no eixo vertical é 
. Já 
é o módulo do vetor velocidade do ponto vermelho na própria trajetória. Seja o vetor velocidade 
a projeção do vetor velocidade 
sobre o eixo . Assim, pela relação entre os triângulos retângulos temos que 
.
Ora, pelo Cálculo sabemos que, se 
, então 
. Logo o que vimos foi uma prova cinemática de que 
, para 
e 
.
Para provar cinematicamente que
basta considerar o mesmo movimento circular de , mas com projeção no eixo 
.
Para provar cinematicamente que
